概率第二章教材习题选解07[一].07.16.docVIP

新疆财经大学数学考研辅导班教学资料 PAGE PAGE 16 概率统计第二章教材习题选解 习题2－1，2 1．下列表中所列出的是否是某个随机变量的分布律？ （1） （2） （3） 解：若，则应满足条件：，且. （1）满足上述条件，是某个随机变量的分布律. （2）中概率之和相加不等于1，则不上某个随机变量的分布律. （3）中概率均满足，且，故表中所列出的是某个随机变量的分布律. 2．设随机变量的分布律为,试确定常数. 解：当时，有，于是， 故. 3．一批产品共100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布律. 解：设表示“任意取出的5个产品中的次品数”，则的取值为：. 以下求取上述值时对应的概率. ，， ，， ，. 故，. 或者写成公式的形式：. 4．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任意时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2）至少有3个设备被使用的概率是多少？ （3）至多有3个设备被使用的概率是多少？ 解：设为“同一时刻被使用的设备数”，则. （1）； （2） ； （3）. 5．对某一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率为，求射击次数的分布律. 解：设为“射击的次数”，则由题意. 6．从学校乘车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律. 解：显然的取值为： ； ；； . 即. 或者写成公式的形式：. 7．设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，试问 （1）在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ （2）在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？ 解：设表示“某城市在一周内发生交通事故的次数”， 则. （1）； （2）. 8．设服从泊松分布，其分布律为问当为何值时，最大？ 解：设为最大，则有下面不等式组：. 解这个不等式组，由. 由. 即，. 综合以上：. 习题2－3 1．下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ （1） （2）. 解：由定义，且；单调不减，右连续；，. （1）中函数满足以上条件，故是某个随机变量的分布函数. （2）中的函数，，不满足条件，故不是某个随机变量的分布函数. 2．设的分布函数为求常数及. 解：因为，所以. . 3．设服从分布，其分布律为求的分布函数，并作出图形. 解：因为的分布律为且，所以的分布函数为：.其图象为： 4．设随机变量的分布律为, （1）求的分布函数，并画出的图形； （2）求. 解：因为当时，有. 故，. 5．一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任意同心圆盘上的概率与圆盘的面积成正比，并射击都能中靶，以表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量的分布函数. 解：，其中：. 当时，； 当时，； 当时，. 综合以上：. 习题2－4 1．设随机变量的概率密度为求的分布函数. 解：因为，而密度函数又是分段函数，所以要以分段点为界进行讨论. 当时，； 当时，； 当时，. 综上：. 2．设随机变量的概率密度为，试求： 系数; （2）; （3）的分布函数. 解：因为，所以. . 当时，； 当时，. 综上：. 3．设随机变量的概率密度为试求 （1）系数; （2）的分布函数；（3）. 解：因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上：. . 4．设随机变量的分布函数为求： （1），，； （2）求的概率密度. 解：；； . .（注意：在处不可导.） 5．在服从均匀分布，求方程有实根的概率. 解：由题意，. 方程有实根的充要条件是：. 故. 6．设顾客在某银行等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其概率密度为 ，某顾客在某银行等待服务，若超过10分钟他就离开，他一个月要到银行5次，以表示他未等到服务而离开窗口的次数，试写出的分布律，并求. 解：顾客未等到服务的概率为， 则，即. . 7．设,（1）求，，;（2）确定，使得；（3）设满足，问至多为多少？ 解： . . . ，而，故，. . 因为是增函数，故，.即至多取. 8．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）分布近似于正态分布96分以上的占考生总数的2.3％，试求考生的外语成绩在60－84分之间的概率. 解：由题意，，即. 于是，. 从而 . 习题2－5 1．设随机变量的分布律为试求（1）；（2）的分布律. 解：（1）的取值为：，，. ； ； . 即，. （2）的取值为：，，. ； ； . 即，. 2．随机变量，求的分布律. 解：因为，则的取值为：，所以的取值为：. ； ； . 故，. 3．随机变量在服从均匀分布，（1）求的概率密度；（2）求的概率密度. 解：由题意，. （1）因为满足，所以是增函