高一培优材料-平面向量中的三角形“四心”问题.docVIP

高一培优材料- 平面向量中的三角形“四心”问题 一、“四心”的概念与性质 （1）重心的定义：三角形三条中线的交点叫重心． 重心的性质：（1）它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1. （2）点G是△ABC的重心＋＋＝0或 ＝eq \f(1,3)(＋＋)(其中P为平面内任意一点) （3）在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x＝eq \f(x1＋x2＋x3,3)，y＝eq \f(y1＋y2＋y3,3). 证法1：设 是的重心. 证法2：如图 三点共线，且分为2：1 是的重心 [例1]　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心． [解析]　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心． [例2]　已知△ABC内一点O满足关系＋2＋3＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB 之值． [解]　延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1，如图所示， 则＝2，＝3，由条件，得＋＋＝0，所以点O是△AB1C1的重心．从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝eq \f(1,3)S，其中S表示△AB1C1的面积， 所以S△COA＝eq \f(1,9)S，S△AOB＝eq \f(1,6)S，S△BOC＝eq \f(1,2)S△B1OC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)S△B1OC1＝eq \f(1,18)S. 于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝eq \f(1,18)∶eq \f(1,9)∶eq \f(1,6)＝1∶2∶3. [点评]　本题条件＋2＋3＝0与三角形的重心性质＋＋＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比． [引申推广]　已知△ABC内一点O满足关系λ1＋λ2＋λ3＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3. (2)垂心的定义：三角形三条高线的交点叫垂心． 垂心的性质：若H是△ABC的垂心·＝·＝·或 2＋2＝2＋2＝2＋2 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. 同理， 为的垂心 例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. = ==+=0 点的轨迹一定通过的垂心，即选. (3)内心的定义：三角形三条内角平分线的交点叫内心． 内心的性质：（1）它到三角形三边的距离相等．内心就是三角形内切圆的圆心 （2）若点O是△ABC的内心. 证明：分别为方向上的单位向量，平分, )，令（) 化简得 三角形内角平分线性质定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比 △ABC中，角平分线 AD的计算方法 (4)外心的定义：三角形三条边的中垂线的交点叫外心． 外心的性质：（1）它到三角形的三个顶点的距离相等．外心就是三角形外接圆的圆心 （2）若O是△ABC的外心则(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0或||＝||＝||. 小试牛刀： 1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）A．2 B． C．3 D．6 2．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( ) A． B．0 C．1 D． 3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A．0 B． C． D． 4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．已知非零向量 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AC,\s\up6(→))满足( eq \f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|) + eq \f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|) )· eq