Ch3中值定理与导数及应用.doc

PAGE PAGE 2 . . Ch3、中值定理与导数的应用 §1、中值定理 一、罗尔定理 若满足①在上连续；②在内可导；③，则在内至少存在一点。 证：因，故在上有最大值、最小值， 若，对任意，均有，结论成立。 若，因，故不能同时等于， 不妨设，即内部一点处取最大值。 当 同理可证，又在内可导，故，即。 例1、验证罗尔定理对上的正确性。 证：[条件验证] ， ，即满足罗尔定理条件。 [结论验证] ，显然有，故得证。 （既要验证条件，又要验证结论） 例2、设的实数，证明方程 在内至少有一个实根。 证：设 则在上连续，在内连续，且， 由罗尔定理，至少有一个使 即在内至少有一个实根。 二、拉格朗日中值定理 若满足①在上连续；②在内可导，则至少存在一点，使 。 证：令 则在上连续，在内可导，且 由罗尔定理，至少有一个使 即。 因，故可记为。 本定理的一般形式为，。 例3、设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点， 使。 证：令，则在上连续，在内可导， 由Lagrange定理，有使， 即 例4、设，证明 证：令，则在上连续，在内可导， 故有使 又，故 即 定理：在区间上，的充要条件是 证：充分性显然，下证必要性。 由知，满足Lagrange定理条件， 对任意，有， 得，从而。 例5、证明： 证：令 则 又 故 同理可证 三、柯西中值定理 若满足①在上连续；②在内可导；③，则至少存在一， 。 证：令， 则在上连续，在内可导，且， 由罗尔定理，至少有一个使， 即。 例6、设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点， 使。 证：令，则、在上连续，在内可导，且 由柯西定理，有使， 即 §2、洛必达法则 1、型 定理1：若①；②； ③，则 证：下设极限过程为，时同理可证。 因， 故、的连续点或可去间断点，从而可得。 设为邻域内一点，且，则、在上连续，在内可导，且，则柯西定理 又时，，且 故。 注：①在实际运用时，只要极限为型，即可试用法则。 ②在求极限时，最好将洛必达法则与等阶无穷小代换法则结合使用。 例1、 解：原式 例2、 解：原式 例3、 解：原式 2、型 定理2：若①；②； ③，则 例4、 解：原式 例5、证明存在，但不可用洛必达法则计算。 证： 因为不存在也不为，故不可用洛必达法则计算。 但此极限存在，事实上 原式 3、其它未定型 极限中共有七种未定型 ① 例6、 例7、 ② 例8、 ③ 例9、 例10、 例11、 §3、泰勒公式 1、Taylor中值定理 定理：若在的某邻域内有阶导数，则在该邻域内 称为余项，介于之间。 ① 拉格朗日公式 ②显然余项。 2、麦克劳林公式 若，则 此式称为阶麦克劳林公式。 例1、求的麦克劳林公式 ① ② ③ ④ 解：①，， 故 ②，， 故 同理 ③，， 故 ④，， 故 例2、用Taylor公式求极限 ① ② 解：①原式 ②原式 §4、函数单调性的判定 1、定理1：若在区间内（），则在区间上单调增加（减少）。 证：任取，则由拉格朗日定理， 若，则，在上单调增加； 若，则，在上单调减少。 例1、判定函数单调性 ① ② 解：① 当时，；当时， 故内单增，在内单减。 ②，当时，；当时， 故内单减，在内单增。 2、用单调性证明不等式（重要） 例2、证明不等式① ② 证：①令，则，即单增 又，故，即 再令，，即单增 又，故，即 从而 ②令，则 ，即单增 又，故，即 3、定理2：单调函数在其单调区间内最多只能有一个零点。 例3、证明只有一个实根。 证：令，则在上连续， 且，故内至少有一个零点， 又，即单减， 由定理2，内最多只能有一个零点， 从而有且仅有一个实根。 §5、函数的极值及求法 1、极值的定义 定义：若存在的一个邻域，对此邻域内除外的任何，均有（ ），则称为的一个极大（小）点，称为的一个极大（小）值。 注：极值是局部性概念，仅在附近考虑；而最值是整体性概念，要在整个区间考虑。 2、函数取得极值的必要条件 定理1：若在处可导，且在处取得极值，则。 证：不妨设为极大点，即在的某邻域内有 当时， （保号性） 同理，又在处可导，即，故。 注：①导数为零的点称为驻点，此时定理1可叙述为“对可导函数，极值点一定是驻点”。 ②若可导函数无驻点，则函数无极值。 ③驻点不一定为极值点。 例如，有驻点，但不是极值点。 ④千万不要误认为只有驻点才可能成为极值点，导数不存在的点也有可能成为极 值点，即可能的极值点 例如，，在处不可导，但在处有极小值0。 3、函数取得极值的充分条件 定理2：（判别法一）设或不存在 ①若时，，时，