四川省木里县中学高三数学总复习-平面向量整理资料-新人教A版.docVIP

PAGE PAGE 1 平面向量 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。 例：已知A（1,2），B（4,2），把向量按向量＝（－1,3）平移得到的向量是_____ 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有)； ④三点共线共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 例：下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。 （5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______ 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。 例（1）若，则______ （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____ （4），点在边上， ，，则的值___ 四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）； （2）当 0时，的方向与的方向相同； 当 0时，的方向与的方向相反； 当＝0时，。 注意：≠0。 五．平面向量的数量积： 1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作， 称为向量，的夹角。 注：当＝0时，，同向；当＝时，，反向；当＝时，，垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 例：（1）△ABC中，，，，则_________ （2）已知，与的夹角为，则等于____ （3）已知，则等于____ （4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____ 3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。 例：已知，，且，则向量在向量上的投影为______ 4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。 5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①； ②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件； ③非零向量，夹角的计算公式：；④。如 （1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______ （答：或且）； （2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________ （答：）； （3）已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小 （答：①；②最小值为，） 六．向量的运算： 1．几何运算： ①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即； ②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 （1）化简：①___；②____；③_____ （答：①；②；③）； （2）若正方形的边长为1，，则＝_____ （答：）； （3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____ （答：直角三角形）； （4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___ （答：2）； （5）若点是的外心，且，则的内角为____ （答：）； 2．坐标运算：设，则： ①向量的加减法运算：，。如 （1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上 （答：）； （2）已