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数列知识点及常用结论
PAGE \* MERGEFORMAT 16
数列知识点及常用结论
一、等差数列
(1)等差数列的基本公式
= 1 \* GB3 ①通项公式: (从第1项开始为等差)
(从第m项开始为等差)
= 2 \* GB3 ②前项和公式:
(2)证明等差数列的法方
= 1 \* GB3 ①定义法:对任意的n,都有(d为常数)为等差数列
= 2 \* GB3 ②等差中项法:(n)为等差数列
= 3 \* GB3 ③通项公式法:=pn+q (p,q为常数且p≠0) 为等差数列
即:通项公式位n的一次函数,公差,首项
= 4 \* GB3 ④前项和公式法: (p, q为常数) 为等差数列
即:关于n的不含常数项的二次函数
(3)常用结论
= 1 \* GB3 ①若数列,为等差数列,则数列,,,
(k, b为非零常数)均为等差数列.
= 2 \* GB3 ②若m+n=p+q (m,n,p,q),则=.
特别的,当n+m=2k时,得=
= 3 \* GB3 ③在等差数列中,每隔k(k)项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(例如:,,,仍为公差为3d的等差数列)
= 4 \* GB3 ④若数列为等差数列,则记,,,则,,仍成等差数列,且公差为d
= 5 \* GB3 ⑤若为等差数列的前n项和,则数列也为等差数列.
= 6 \* GB3 ⑥ 此性质对任何一种数列都适用
= 7 \* GB3 ⑦求最值的方法:
= 1 \* ROMAN I: 若0,公差d0,则当时,则有最大值,且最大;
若0,公差d0,则当时,则有最小值,且最小;
= 2 \* ROMAN II:求前项和的对称轴,再求出距离对称轴最近的正整数,
当 时,为最值,是最大或最小,通过的开口来判断。
二、等比数列
(1)等比数列的基本公式
= 1 \* GB3 ①通项公式: (从第1项开始为等比)
(从第m项开始为等差)
= 2 \* GB3 ②前项和公式:,
(2)证明等比数列的法方
= 1 \* GB3 ①定义法:对任意的n,都有(q0) 为等比数列
= 2 \* GB3 ②等比中项法:(0)为等比数列
= 3 \* GB3 ③通项公式法:为等比数列
(3)常用结论
= 1 \* GB3 ①若数列,为等比数列,则数列,,,,
(k为非零常数) 均为等比数列.
= 2 \* GB3 ②若m+n=p+q (m, n, p, q),则=.
特别的,当n+m=2k时,得=
= 3 \* GB3 ③在等比数列中,每隔k(k)项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等比数列,且公比为 (例如:,,,仍为公比的等比数列)
= 4 \* GB3 ④若数列为等差数列,则记
,,,
则,,仍成等比数列,且公差为
三、求任意数列通项公式的方法
(1)累加法:若满足an+1=an+f(n)利用累加法求:
例题:若,且,求:
练习题:若数列满足,且
(2)累乘法:若满足利用累乘法求:
例题:在数列{an}中,,求:.
练习题:在数列{an}中,且,求: (提示:)
(3)递推公式中既有,又有,用逐差法
特别注意:该公式对一切数列都成立。
(4)若满足,则两边加:,在提公因式P,构造出一个等比数列,再出求:
例题:已知数列,满足:,且,求:
习题1:已知数列满足:且,求:
习题2:已知数列满足:,且,求:
(5)若满足,则两边同时除以:,构造出一个等差数列,
再求出:
例题:已知满足:,求:
解:,既有:
所以:是首项为:,公差的等差数列
所以:
习题1:已知且,求:
习题2:已知且,求:
(六)待定系数法:若满足以下关系:
都可用待定系数法转变成一个等比数列来:
温馨提示:提,对待定系数
例题1:已知数列满足,求数列的通项公式.
解:,与原式对应得,
所以:是首项,公比的等比数列
既有:
例题2:已知数列满足,求数列的通项公式.
解:,
与原式对应得:
所以:是首项为:,公比的等比数列
既有:
(七)颠倒法:若满足:,用颠倒法;
所以:,所以:是以首项为:,公差的等差数列
例题1:已知,且,求:
例题2:已知,且,求:
(八)倒数换元法:若数列满足:,则颠倒变成
然后再用两边加:或者待定系数法既可求出,再颠倒就可得到:
例题:若数列满足:,且,求:
解:,两边加:1得:
,
所以:是首项为:,公比:的等比数列;
既有:
若用待定系数法:
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