关于递推数列通项公式的求法研究 -.doc

【标题】关于递推数列通项公式的求法研究 【作者】蒋 安 琼 【关键词】递推公式??通项公式??方法 【指导老师】彭 祖 明 【专业】数学与应用数学 【正文】1?引言递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。根据递推关系式求出数列的通项公式既能考查学生对数列这部分知识是否掌握，也能考查学生的观察能力，推理能力，判断能力。因此，对学生递推能力的考查一直是高考关注的重点。一些数学工作者对递推数列通项公式的求法研究已取得了许多重要的进展，例如：方平，王学东,徐卫兵等对通项公式的研究已经取得了一定的成果。其中，方平老师主要研究了由递推公式数列的通项公式的“递推—猜想—证明”、“变换”、“累差积商”三种方法[1]。王学东老师则是研究了递推数列中常见的七种典型例题[2]。而徐卫兵老师主要研究了五种常见的求递推数列通项公式的类型[3]。如：?????????????????????????????(1-1)???????????????????????????????(1-2)??????????????????????????????(1-3)??????????????????????????????????????(1-4)???(?都是常数，?)??????(1-5)但是，缺少了对递推数列常见类型的求法的研究。本文重点是研究递推数列通项公式的主要算法以及每种算法应用的常见类型。并通过具体例子来巩固各种算法。递推数列通项公式的求解方法包括：“递推—猜想—证明”、“变换”、“累差积商”[1]，“待定系数法”、“倒数法”“对数变换法”等。这些方法是解决中学数学的数列问题，处理数列的递推公式时常用的方法。研究递推数列通项公式的求法时，首先要将一般数列转化为等差和等比两种特殊数列，再选用适当的方法求解。本文主要就近几年的高考试卷中常见的求递推数列通项公式的七种基本类型的求法进行了归纳，总结。具体的研究思路是：先介绍递推数列通项公式的求法，然后指出该方法适用的类型，再举例加强对方法的理解。2?递推数列所谓递推公式是指:如果已知数列{?}的第一项(或第几项),且任一项?与它的前一项?或前几项之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式.?而如果数列{?}的第n项?与n之间可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如果一个数列{?}可由递推公式表示，我们称该数列为递推数列。递推数列通项公式的七种基本类型有：???????????????????????????????????(2-1)?????????????????????????????????????(2-2)?????????????????????????????????????(2-3)???????????????????????????????????(2-4)???(?都是常数，?)?????????????(2-5)???????????????????????????????????(2-6)已知递推公式为??与??的关系式。?????????????????????????????3?方法的应用?3.1?累加法3.1.1?应用于?型当数列的递推公式可化为?的形式时，而且?是可求得的，那么可以用“累加法”求得通项公式。由上式可得：????…?将等式的左右两边分别相加得到：?…+?所以???????+…+?????????????????????????????(3-1)例 1??已知数列{?}满足?，求数列{?}的通项公式。解：??????????????…????????????所以??????例 2???已知数列{?}满足?求数列{?}的通项公式。分析??此题较例1要复杂些，直接观察不能发现其规律，要在等式两边除以?。解：由?两边同除以?得?????????令?，则???，即?????利用累加法，得?…????????????????????????????????????此类型还有另外一种常见的类型??（其中?常数）解决这类问题，一般情况下先将此类数列变形得?，再由等差数列的通项公式?可求得?。此类题目比较简单，这里就不举例说明了。3.1.2?应用于?（?为常数）型把原递推公式转化为?????????????????????????????????????????(3-2)其中??满足???，再应用累加的方法求解。例 3?（2006年福建卷）已知数列?满足，?，求数列{?}的通项公式。解：?由???可转化为??????????????????????????????，即??