实变函数与泛函分析33.pptVIP

第三节 可测集的结构 2. 可测集与开集、闭集的关系 (1).若E可测，则 证明:(1)当mE+∞时，由外测度定义知 例 例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。 3. 可测集与 集和 集的关系 (1).若E可测，则存在 型集 O, 使 证明：对任意的1/n， 例： 类似可证： 第四节 不可测集 存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理） * * 第三章 测度论 注：开集、闭集既是 型集也是 型集； 有理数集是 型集，但不是 型集； 无理数集是 型集，但不是 型集。 有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集； 通过取余 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换） 例 区间 是可测集，且 注：零集、区间、开集、闭集、 型集（可数个开集的交）、 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发 通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。 证明见书本p66 即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。 证明：若(1)已证明，由Ec可测可知 取F=G c，则F为闭集 从而（这里用到mE+∞ ） 对每个Ei应用上述结果 (2)当mE=+∞时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并： 证明：对任意的1/n， 例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭集。 开集: (0,1) 闭集： 开集： 闭集：空集 可测集可由 型集去掉一零集， 或 型集添上一零集得到。 (2).若E可测，则存在 型集H, 使 (1).若E可测，则存在 型集 O, 使 (1).若E可测，则存在 型集 O, 使 (2).若E可测，则存在 型集H, 使 证明：若(1)已证明，由Ec可测可知 取H=O c，则H为 型集 ， 且 例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的 型集或 型集。 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的 型集或 型集。 注：上面的交与并不可交换次序 证明:由外测度定义知 存在不是Borel集的可测集 （利用Cantor函数和不可测集构造） 参见：《实变函数》周民强 , p87 * * *