实变函数与泛函分析53.pptVIP

第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 Riemann可积的充要条件 Darboux上、下积分 引理：设f(x)在[a,b]上为有界函数，记ω(x)为[a,b]上的振幅函数，则 引理的证明 引理的证明 1.Riemann可积的内在刻画 定理：有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的 充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零 测度集 2.Lesbesgue积分与Riemann积分的关系(Lebesgue积分是对Riemann积分的推广) 定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明 例 注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系 例：f(x)有无穷积分, 但不Lebesgue可积. 注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系 例 设f(x)是[a,b]上Lebesgue可积函数，如果对任意实数c(0≤ c≤ 1)总有那么f(x)=0 a.e.于[0,1] 第四节 Lesbesgue积分的几何意义与Fubini定理 重积分与累次积分 1.截口定理 2.Lebesgue积分的几何意义 2.Lebesgue积分的几何意义 3.Fubini定理 3.Fubini定理 * * 第五章 积分论 yi yi-1 Lesbesgue积分 对值域作分划 xi-1 xi Riemann积分 对定义域作分划 本节主要内容: 若f(x) Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且积分值相等 f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集 f(x)在[a,b]上Riemann可积 对[a,b]作分划序列 令（对每个i及n） Darboux上积分 Darboux下积分 xi-1 xi 故ω(x)为[a,b]上的可测函数，从而f(x) L可积。 证明：由于f(x)在[a,b]上为有界函数， 故ω(x)为[a,b]上有界函数， 又对任意实数t， 为闭集， xi-1 xi 作函数列 对 [a,b]作分划序列 xi-1 xi 引理的证明 xi-1 xi 从而结 论成立 xi-1 xi 教材p-104有另一种证明 证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的 Darboux上、下积分相等， 上述过程反之也成立。 从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集， 引理：设f(x) 是E上有限实函数，则f(x)在x0∈E 处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0 证明参照教材p-102 证明： f(x)在[a,b]上Riemann可积， 故f(x)在[a,b]上几乎处处连续， 从而f(x)在[a,b]上有界可测，并且Lebesgue可积， 其次， 对[a,b]的任一分划 根据Lesbesgue积分的可加性，我们有 对上式左、右端关于一切分划各取 上、下确界，即得 xi-1 xi 在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析） Riemann函数Riemann可积 处处不连续 Dirichlet函数不Riemann可积 0 1 例： f(x)有暇积分但不Lebesgue可积 1/5 ? 1/3 ? 1 教材p122有另一种证明写法： 证明中用到了积分的绝对连续性 从而有f(x)在F上几乎处处为0 所以f(x)=0 a.e.于[0,1] 证明（续） 第五章 积分论 主讲：胡努春 重积分 累次积分 f(x,y)连续 x Ex 证明参照教材p-136分六种情况讨论： 区间，开集， 型，零集，有界可测 集，一般可测集 定理1 设 是可测集，则 (1)对Rp中几乎所有的x，Ex 是Rq中的可测集 m(Ex)作为x的函数，它在Rp上几乎处处 有定义，且是可测函数； 定理2：设A,B分别是Rp和Rq中的可测集， 则A×B是Rp+q中的可测集， 且m(A × B) = mA × mB 证明参照教材p-139 A B 证明参照教材p-139 则f(x)是E上可测函数当且仅当 G(E;f)={(x,y)| x∈E，0≤y f(x)} 是Rn+1中的可测集;并且有 定理3 设f(x)为可测集 上的非负函数， f(x) 证明参照教材p-140 (1)设 f(p)=f(x,y)在