小学六年级数学竞赛讲座-第4讲-进位制与位值原理(二).docxVIP

第四讲 进位制与位值原理（二） 模块一、进制的互化与计算: 一、认识进制 n进制：“逢n进一，借一当n”，如：十进制的特点是“逢10进一，借一当十”。N进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 二、进制转换 n进制化十进制：位值原理法。 十进制化n进制：倒取余数法。 n进制化m进制：先把n进制化成十进制，在把十进制化成m进制。特别地，n进制化na进制：从低位到高位，取a合一；na进制化n进制：从低位到高位，取一分a，不足位补0. 三、进制判断 判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠下列两个方法： 1．数字特征：在n进制下，每个数字都不能大于(n?1)，如在八进制下，每个数字都不能大于7；反过来说，若n进制下出现7这个数字，则n必定大于7，起码为八进制； 2．尾数特征：观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，在对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，在推断进制。 例1．（1）把下列各数转化为十进制数。(大写英文字母表示10以上进制中的数，如：A表示10，B表示11，……) (463)8= ；(2BA)12= ；(5FC)16= . （2）(1001101010111100)2=( )4=( )8=( )16. （3）请将十进制数90转化成七进制数是 ；(125)7转化为八进制数是 。 解：（1）(463)8=4×82+6×8+3=307； (2BA)12=2×122+11×12+10=430； (5FC)16=5×162+15*16+12=1532. （2）(1001101010111100)2=4=(115274)8=(9ABC)16. （3）90=72+5×7+6=(156)7， (125)7=72+2×7+5=68=82+0×8+4=(104)8. 例2．（1）计算：(231)5+(124)5= ，(251)6+(434)6= ； （2）计算：2?(10101)2÷(11)2=( )2； （3）计算：(45)8×(12)8?(456)8=( )8. 解：（1）(231)5+(124)5=(410)5， (251)6+(434)6=(1125)6. （2）2?(10101)2÷(11)2=2?(111)2= 2. （3）(45)8×(12)8?(456)8=(562)8?(456)8=(104)8. 例3．（1）算式1534×25=43214是 进制的乘法。 （2） 进制下，135×24=3636成立。 解：（1）答案：八进制 因为算式中有数字5，所以最少是六进制，又不足十进制，由个位4×5=20，进位后余4， 这样16往前进位，不是2、4，只能是8进制。 （2）答案：七进制 因为算式中有数字6，所以最少是七进制，又不足十进制，由个位4×5=20，进位后余6， 这样14往前进位，不是2、只能是7进制。 例4．已知六进制的化成九进制后可以写成，那么这个数写成十进制是 。 解：由已知得36a+6b+c=81c+9b+a，所以35a=3b+80c，其中a、b、c都是0到5之间的自然数， 由于35a、80c都是5的倍数，所以b=5，代入得35a=15+80c，得7a=3+16c， 解得c=2，a=5，所以原数是(552)6=212. 模块二、位值原理初步： 例5．一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是A，这个三位数A是 。 解：设三个数字分别为a≥b≥c，则最大的三位数是，最小的三位数是， ?=99(a?c)，所以原来的三位数是99的倍数， 99的倍数有198、297、396、495、594、693、792、891，这些数中，十位为9，百位数字与个位数字和为9，重新排列之后，最大的三位数的百位数字为9，最小的三位数的个位数字为9，而差的个位数字一定是m， 9 m n ? n m 9 m m+n=9，10+n?9=m，即m=5，n=4， 其中954?459=495，所以原数A=495. 模块三、位值原理进阶： 例6．一个六位数，把它的末三位和前三位整体替换，得到一个新六位数，并且，原六位数的7倍正好等于新六位数的6倍，则原来的六位数是 。 解：设原来的六位数是1000a+b，交换后为1000b+a，其中a、b都是三位数， 得7×(1000a+b)=6×(1000b+a)，