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PAGE PAGE 68 機率與統計基礎 黃登源 日常生活中，執行對某一件事物所產生的結果，進行觀測，此種結果就是一般所說的事實。當重複執行同樣的工作時，所產生的結果，不一定相同，若是訂出作業標準，重複進行同樣的工作時，我們想要知道產生同一結果的可能性有多大，這就是機率的概念。但是要重複多少次，才能進一步評估其重複發生的強度呢？這就是統計所要學習的範圍。 第一節 機率基本概念 1-1　機率的基本概念及性質 1. 樣本空間：根據研究目的所要了解(試驗)對象之全體，稱為樣本空間，常以表示。有些樣本空間是有限個元素，有些是無限個元素。 2. 樣本點：樣本空間中，每個可能的結果稱為樣本點。 3. 隨機試驗：根據研究目的，按照作業標準進行嚴謹試驗，且具有再現性與規律性。(註一) 4. 事件：在隨機試驗下，適合某一條件的所有可能的結果之集合，稱為事件。一般以大寫英文字母等表示。不含任何元素的事件稱為空事件，以表示。 例「擲一粒骰子」這個試驗下，觀測「面向上的點數大於2」是一個事件。此外，「點數小於6」、「點數是偶數」、「點數是奇數」也都是事件，所以在一個試驗下可以有許多不同事件。 ? 注意在一隨機試驗下之條件改變，所產生的事件也不同；如上例中，「向上點數為偶數」及「向上點數大於2」。 5. 事件發生：隨機試驗的結果屬於事件時，稱事件發生。 例「擲一粒骰子」這個試驗下，觀測「面向上的點數大於2」的事件，其結果為3，稱此事件發生，若其結果為1，則稱此事件不發生。 6. 餘事件：在隨機試驗下，刪除適合某一條件的所有可能的結果之後，所得的集合，稱為餘事件。 例「擲一粒骰子」這個試驗下，觀測除了「面向上的點數大於2」外，所有可能結果的集合，也是一個事件。 7. 積事件：在某兩條件的隨機試驗下，結果屬於事件與事件時，事件與事件皆發生，稱為與的積事件，即事件與事件的交集，記為。 例「擲一粒骰子」這個試驗下，觀測「面向上的點數大於2」及「點數小於6」，所有滿足這兩個條件的可能結果的集合，就是積事件。 8. 和事件：在某兩條件的隨機試驗下，所有可能的結果之集合分別為A與B，在適合該兩條件之其中之一或兩者的集合稱為和事件，以表示。 例「擲一粒骰子」這個試驗下，觀測「面向上的點數大於2」或「點數小於6」，所有滿足這兩個條件的可能結果的集合，就是和事件。 9. 差事件與餘事件：隨機試驗的結果屬於事件，但不屬於事件時，事件發生，但事件不發生，稱為與的差事件，即事件與事件的差集，記為。特別當時，為的餘事件。 互斥事件：隨機試驗中沒有任何結果同時屬於事件與事件時，事件與事件不同時發生，稱事件與事件為互斥事件或稱事件與事件互斥。 例設10張卡片其編號分別為1,2…,10，從中隨機抽取一張，設事件分別表示如下： ：編號為偶數 ：編號為奇數 由，， 得， 故與為互斥事件。機率公理：設S為樣本空間，為空集合；S中的每個事件E有一個機率值，滿足下列三個基本性質； (1) (2) 設事件A， (3) 設事件A與B，滿足，則。 11. 機率的性質：設樣本空間為，為兩事件，則(1) 。(2) 若，則。(3) 。(4) 。(5) 。(註二) 12. 隨機變數：在隨機試驗下，將母體中之對象量化的準則，稱為隨機變數。(註三) 由於數據之次數分布，可以用來推測機率值，因此數據分析可以處理不確定現象。(註一) 1-2　獨立事件、條件機率與貝氏定理 1-2.1　條件機率 事件A發生時，事件B發生之條件機率以表示，其值與相等。 例１已知全班有50位學生，其中有20位女生，用簡單隨機抽樣法，任意抽出兩位學生，試問兩位均為女生的機率為何？ 解：設以b及g分別表示男生與女生，以及 分別表示第一次及第二次抽到男生或女生，抽兩次之樣本空間為 表示兩次抽樣中第一次抽到女生，而第二次沒限制表示兩次抽樣中第二次抽到女生，而第一次沒限制表示當第一次抽到女生之樣本空間中，第二次抽到其餘女生之機率， 因此，將A視為樣本空間，其中B發生之事件為 故 ，其中，事件C實際上為 若利用計算公式 因此，條件機率可以用計算公式求得。 例２在例1中，求抽出三位都是女生的機率？ 解：設以b及g分別表示男生與女生，以， 及分別表示第一次， 第二次及第三次抽到男生或女生，抽三次之樣本空間為 表示兩次抽樣中第一次抽到女生，而第二次及第三次沒限制 表示兩次抽樣中第二次抽到女生，而第一次及第三次沒限制 表示兩次抽樣中第二次抽到女生，而第一次及第二次沒限制 一般而言，若試驗依順序所產生的事件為時，求這些事件均發生的機率，可記為 。 例３假設根據統計，一群人