函数图象变换的应用 -.doc

【标题】?函数图象变换的应用? 【作者】徐 卫 东 【关键词】函数??图象变换??应用 【指导老师】彭 祖 明 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言函数是初等数学乃至高等数学极为重要的内容,学好函数对发展个人的数学素养和进一步深造有着重要作用，近年来不少教师对函数图象变换进行了研究也并取得了不错的成绩。如许志强的用轨迹的方法解决图形变化的问题[1];谈森的平移有关问题[2]:;樊素林的例谈函数图象在解题中的应用[3]:;杨清利的函数图象的变换[4]；黄新邦的复合函数问题初探[5];谢永清的函数图象[6];周华生,?杨伟,王建国的抽象函数的变换方法和应用[7]。通过他们比较深入的研究,使得函数图象变换的整个知识体系比较紧密联系起来,这有利于学生知其然，知其所以然。在参阅文献的基础上，笔者认为用轨迹，数形结合,向量,文字语言四种方法，也能统一处理中学数学中出现的函数图形变换问题，可以使函数图象变换形成知识体系,有利于学生能更深刻理解函数图象变换的实质，并灵活运用其来解决涉及函数图象变换的问题。2变换综述中学数学中出现的函数图象变换主要有以下四种:平移变换,对称变换,翻折变换,伸缩变换.平移变换包括左右平移,上下平移;对称变换包括关于点的对称和关于直线的对称;伸缩变换有横坐标不变,纵坐标伸长或缩短;?纵坐标不变,?横坐标伸长或缩短;翻折变换是把图象在?轴上方的部分保留,并将在?轴下方的图象翻折上去,他们共同构成得到新的函数图象;将图象在?轴右方的部分保留,并作其关于?轴的对称图象,并去掉在?轴左方的图象,?他们共同构成得到的新函数图象.因为整个函数图象的变换可以用其上任意一个点的变换得到体现,故我们就用函数图象上的任意一个点为突破点.2.1平移变换定义1：设?是平面上的一一变换，平面上的任一点?的对应点为?，若向量?总等于定向量?，则称?为平移变换，简称平移。??称为平移向量.以?为平移向量的平移记作?[8].函数图象平移实质上是把函数图象上所有点都进行平移。主要有左右平移和上下平移.(1)左右平移:??的图象,可由?的图象向左?或向右平移??个单位得到.(2)上下平移:??的图象,可由?的图象向上?或向下平移??个单位得到.2.2对称变换定义2:若一个平面图形?在平面刚体运动?的作用下仍与原来的图形重合,就称?具有对称性,?叫做?的对称变换[9].高中数学常见的函数图形对称有关于点(?)对称和关于直线?对称.第一类:已知点(?)及函数?,则函数?关于点(?)对称的图象解析式为:?特别地，当??时,即关于原点对称,?得??????????????.第二类:已知直线?(?)及函数?,则函数?关于直线?对称的图象解析式为:??????????????????????(1)特别地:在直线?中（1）当?时,?关于?对称图象的解析式为:?.??????????????????????????????????????(2)特别地,当?时?关于?对称图象的解析式为:?（2）当?时,?关于?对称图象的解析式为:????????????????????????????????????????(3)特别地,??时,?关于?对称图象的解析式为?（3）当?时,?关于?对称图象的解析式为:???????????????????????????????????????????????(4)?说明:?与?互为反函数。????????????????????????????（4）当?时,?关于?对称图象的解析式为:????????????????????????????????????????????(5)???????????????结论1:已知函数?关于直线?对称,则?以?为对称轴结论2:已知函数?关于直线?对称,则?以?为对称轴.结论3:已知函数?关于直线?对称,则?以?为对称轴2.3翻折变换翻折变换的实质是轴对称变换,轴对称的实质是连接对应点的线段被对称轴垂直平分.函数图象的翻折变换也有左右翻折,上下翻折,其间更有对称变换,但又与之不完全相同,有其独特特点,?函数图象的翻折变换主要有以下两种[10]:（1）将?在?轴上方的图象部分保留,并将在?轴下方的图象翻折到?轴上方,他们共同构成得到的新函数为:???????????????????????????????(6)?（2）将?图象在?轴左方的图象去掉,?轴右方的部分保留,并将保留部分作关于?轴的对称图象,?他们共同构成的新函数为:??????????????????????????????(7)2.4伸缩变换.定义3:在平面直角坐标系?下,称变换?为伸缩变换,这里?是非零常数,分别称为变量?的伸缩系数。