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关于抽象函数周期的几个结论及其应用 备考方略 66S 在高考或各地的模拟考试中,经常出现抽象函 数的周期问题,但课本对这方面内容的介绍非常简 单(只给出周期函数的定义和介绍了三角函数的周 期).如何更简单,快速地解决这类问题并更好地认 识函数周期呢?本文给出抽象函数周期的几个结 论,并例谈其应用,供大家参考. 周期函数的定义:对于函数厂(),存在非零常 数,使得对其定义域内总有厂(+)=厂(),则 称常数为函数厂()的周期. 例1若定义在R上的偶函数厂()满足f(+ 2)=. 厂(),且当∈[0,1]时,f():,贝0函数Y=f ()一log3l的零点个数是() A.多于4个B.4个C.3个D.2个 解析:由于. 厂()是偶函数,则当∈[一1,1]时, . 厂()=ll,且函数厂()是周期函数,周期为2, 所以,由图象可知厂()与y=log3Il有4个交点, 所以答案选B. 结论1:设函数厂()的定义域为D,TER且 ≠0.若对任意的∈D,有厂(+)=一厂(),则 厂()是周期函数,且2T是其一个周期. 例2(06年山东卷)已知定义在R上的奇函数 .厂()满足.厂(+2)=一厂(),则厂(6)的值为() A.一1B.0C.1D.2 解析:由.厂(+2)=一.厂()j.厂(+4)=一f( +2)=,(). 由.厂()是定义在尺上的奇函数得f(o):0,所 以.厂(6)=.厂(4+2):.厂(2)=一厂(0)=0,故选择B. 结论2:设函数f()的定义域为D,T∈R且71 ≠0.若对任意的∈D,有.厂(+T)=±l_,则 .厂()是周期函数,且2T是其一个周期. 例3(06年安徽卷)函数厂()对于任意实数 满足条件,(+2)=,若_厂(1)=一5,则5)) = —— O 解析:由+2)=得戈+4)= = ,(),所以_厂(5)=f(1)=一5.则f(f(5)): 一 5)=,(一1)==一{. 结论3:设函数厂()的定义域为D,T】,∈R 且1,全不为零,T1≠/2.若对于任意的∈D, 有,(+)=,(+),则)是周期函数,且 一 是其一个周期. 例4)是定义在R上的奇函数,1)=2且 厂(+1)=,(+5),求.厂(12)+厂(3)的值. 解析:由.厂(+1)=f(+5),得厂()是周期为 4的函数.又f()是定义在R上的奇函数,则 12)=O)=0,I厂(3)=-厂(一1):一f(1):一2.故 ,(12)+,(3):一2. 结论4:设函数,()的定义域为D,,∈R 且,全不为零,I≠.若对于任意的∈D, 有,(+r,1)=一,(+r2),则f()是周期函数,且 2(T.一r2)是其一个周期. 例5对任意整数,.厂()=.厂(+1)+.厂(一1) 且,(0)=9,厂(4)=93,则.厂(59)=——. 解析:由. 厂():.厂(十1)十.厂(一1)得.厂(+1) = . 厂(+2)十厂(),两式相力Ⅱ得f(+2)=一. 厂(一 1).由结论4知6是厂()的周期,所以/(59)=f(5 +6.9)=f(5)=f(4)+f(6)=厂(4)+厂(0):102. 结论5:设函数厂()的定义域为D,,∈R 且,全不为零,≠.若对于任意的∈D, 有,(+)=TI—)且-厂(+)=,(一), 或+)=一厂(Ti—)且,(+)=一,(一. ),则函数. )是周期函数,且2(T】一)是其一个. 周期. 例6(05年广东卷)设函数f()在(一.o,+ o.)上满足.厂(2一)=f(2+),.厂(7一)=.厂(7+), 且在闭区间[0,7]上,只有.厂(1)=厂(3)=0. (I)试判断函数Y=厂()的奇偶性; (1I)试求方程,()=0在闭区间[一2005, 20o5]上的根的个数,并证明你的结论. 解析:(I)略. (Ⅱ).厂(2一)=.厂(2+),.厂(7一)=.厂(7+),由 结论5知厂()是周期为1O的周期函数. 又_厂(3):f(1)=0,_厂(11)=f(13)=f(一7)= .厂(一9)=0,故厂()在[0,10]和[一10,0]上均有两个 解,从而可知函数Y=f()在[0,2005]上有402个 解,在[一2005,0]上有4O0个解,所以函数Y=f() 在[一2005,2005]上有802个解. 结论6:设函数f()的定义域为D,,∈R 且,全不为零,l≠.若对于任意的∈D, 有,(l+)=/(T1一)且(+)=一f(一 ),则函数.厂()是周期函数,且4(一)是其一个 周期. 例7已知函数厂()是定义在R上的函数, 10+)=.厂(10一)且厂(20一)=一f(zo+),贝0 )是() A.周期为2o的偶函数 B.周期为加的奇函数 c.周期为40的偶函数 D.周期为40的奇函数 解析:.厂(10+)=f(10一)且厂(20一