高考数学热点考点题型探析数列的综合问题.doc

WORD文档下载可编辑 专业技术资料分享 第6讲 数列的综合问题 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 数列的综合应用 题型1 等差、等比数列的综合应用 【例1】已知等差数列与等比数列中，，求的通项. 【解题思路】由等比数列知：成等比，从而找出的关系. 【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 是等比数列，成等比，则 ，解得 或. 当时， ，， ； 当时，，， . 【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键. 【例2】已知为数列的前项和，，. ⑴设数列中，，求证：是等比数列； ⑵设数列中，，求证：是等差数列； ⑶求数列的通项公式及前项和. 【解题思路】由于和中的项与中的项有关，且，可利用、的关系作为切入点. 【解析】⑴，，两式相减，得 ， 又，，由，，得 ，是等比数列，. ⑵由⑴知，，且 是等差数列，. ⑶，且， 当时，， ， 【名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；⑵将“”化归为 是解题的关键. 题型2 数列与函数、方程、不等式的综合应用 【例3】（2008韶关模拟）设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有． ⑴求，判断并证明函数的单调性； ⑵数列满足,且 ①求通项公式； ②当时，不等式对不小于的正整 数恒成立，求的取值范围. 【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值. 【解析】⑴，在上减函数（解法略） ⑵ ① 由单调性 ，故等差数列 ② 是递增数列 当时， ， 即 而，∴，故的取值范围是 【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决. 题型3 数列的应用问题 【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少? 【解题思路】本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和. 【解析】设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处,路程为，总的路程: . 由于,当时,有最小值. 答: 将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短. 【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量的取值范围. 【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,… 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块? 【解题思路】建立上层到底层砖块数与的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列. 【解析】设从上层到底层砖块数分别为,则, 易得,即 因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则 (块) 答:共用2046块. 【名师指引】建立与的关系式后，转化为求数列通项的问题. 【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的 8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化. ⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示 ； ⑵求数列的第项； ⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:) 【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 【解析】⑴设现有非绿化面积为,经过年后非绿化面积为. 于是.依题意,是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余的面积,另一部分是新绿化的面积, 于是 ⑵. 数列是公比为,首项的等比数列. ∴. ⑶ . 答:至少需要7年的努力,才能使绿化率超过60％. 【名师指引】解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，将它转化为数学问题. 【新题导练】 1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求原来的四个数. 【解析】设后三个数分别为，则 前三个数成等比数列，第一个数为，， 解得，当时，；当时，. 原来的四个数分别为或. 2.已知为数列的前项和，点在直线上． ⑴若数列成等比，求常数的值； ⑵求数列的通项公式； ⑶数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项； 若不存在，请说明理由． 【解析】⑴由题意知，，得， ，； ⑵，，由⑴知： ；