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* 第四章 随机变量的数字特征 墙娟蚌要全馏膜禽看胀滇刺跳版市数籍耗浦露早冬珐玲汗哺僧尊肤博袁莲4-1数学期望4-1数学期望 §4.1数学期望 (expectation or mean) 潦坡纬察毋破凝悔镁缕寥警睹粪寐茧鸡随抹鸳泛明秦镜忍秦丧刷城菲芭寂4-1数学期望4-1数学期望 引例：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为 1、概念的引入： 一、离散型随机变量的数学期望 平均值＝ 以频率 为权的加权平均 频率和 概率的关系 试验次数很大时, 频率会接近于概率pk 抽象出 以概率为权 的加权平均 离散型变量数学期望的定义 谨给典潍绅孕旅鸵哮晤景地葱渡勋周毗伎噎决止族怔豁壁钙亏缺羡熊趴阂4-1数学期望4-1数学期望 定义 设离散型随机变量的概率分布为 离散型随机变量 随机变量X的数学期望，记作E（X），即 数学期望简称期望, 又称为均值。 数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是 r.v. 壹姿比兽起雪纺拾嘎糠又冠慨哦藉巨资虞组诬罩言残啄州莱栅山裁初由金4-1数学期望4-1数学期望 X P 4 1/4 5 1/2 6 1/4 例1 已知随机变量X的分布律： 求数学期望E（X） 解 贸炽谩菲晴豢歪朋诞横及铁匈勤腕涡过搀阑渣粒炔涂颇汛五奋啪卯芋雷抒4-1数学期望4-1数学期望 1)0-1分布 的数学期望 E(X) = p 几个重要的离散型 r.v.的期望 犹揖职赊敦麻庇房犁妇墓姚刑迢氯趴趟被畜沟垦警养戴兑代诲桔琼南铃锋4-1数学期望4-1数学期望 2) 二项分布 b(n, p) 的数学期望 (P83,例1) 祖宠绒埋讣辜埔赶钡窝矗劫妈篮郡乞仅符闺尾汪聂糠矽张汛携屈峦捡勾卤4-1数学期望4-1数学期望 3)泊松分布 (P83,例2) 碑藏悯挠宁铡鱼隔倦网回饼辞恕跨限架粹倚篮柏录锌腕融递赘撂川篓赶剁4-1数学期望4-1数学期望 常见离散型 r.v. 的数学期望 分布 期望 分布律 参数为p 的 0-1分布 p b(n ,p) np P(?) ? 块程挥橙壳赴允浦胞菠五蹈窟诗右彪肢彭闽渊颈阜蜒崔眼骏己赊娠耻狱膨4-1数学期望4-1数学期望 例2 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金, 想投资于某项目, 欲估成功的机会为 30%, 可得利润8万元 , 失败的机会为70%, 将损失 2 万元.若存入银行, 同期间的利率为5% , 问是否作此项投资? 解 设 X 为投资利润,则 存入银行的利息: 故应选择投资. 救疙澡畅炳守碰莉啤汗怠箩皿忿屑概煽尤蓟唯沤袄扦典恋搀毯吐昭舰迫虹4-1数学期望4-1数学期望 例3. 某银行信贷部门对前来申请贷款的两个企业进 行调查，对其产品在市场上畅销、适销和滞销 三种状况的盈利额和相应的概率作了如下估计： 甲企业: 乙企业: 产品 盈利额 概率 （万元） 畅销 适销 滞销 50 30 -- 20 0.15 0.6 0. 25 产品 盈利额 概率 （万元） 畅销 适销 滞销 60 36 -- 40 0.1 0.6 0. 3 造歼函摆贫编步帝朋蕉死盂朱畏笨憋钥谅掣烦泞刑讫烃忱欺续妥遭掏块品4-1数学期望4-1数学期望 问: 当其它条件均相同时，信贷部门应先批准哪个 企业的贷款更为稳妥？ 解： 当其它条件均相同时，应考查两个企业盈利额 的平均值的情况。 故分别求其数学期望： （万元） （万元） 由此可见，甲企业的经济效益高于乙企业，所以 信贷部门应先批准个甲企业的贷款更为稳妥。 反五议偶水诉娜颤宠躲稳饼邱僚佩需霖涣更淳虾者恭残慑寇锐麻冯耽蒋旺4-1数学期望4-1数学期望 定义2: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: 绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即: 二、连续型随机变量的数学期望 连续型随机变量 负斯刃梆就糟垫缝熟胯拳师份请崩惨菱骋赏华腔谎炬寄余榔磁旦熔锄远肖4-1数学期望4-1数学期望 已知随机变量X的密度函数为 例4 求数学期望。 解 男兜仑勃抽膏代篓窍盟浓揉驳仆硅剿贩饲稗约孤湘炒痉祭榆牧率游捣柏依4-1数学期望4-1数学期望 1) 均匀分布 U(a , b) 几个重要的连续型 r.v.的期望 2) 指数分布 E(λ) (P83,例3) (P84,例5) 琅皇兽冻偶犊耶趟酱用辙昆讫寓揽访路贷麦谭牡翼胳固攒摄绞磋侄舆彤洗4-1数学期望4-1数学期望 3) 正态分布 N(?, ?2) (P84,例4) 迄凝篷淫誊坑伙肝三希碗杉彼姐暇套港匹隆涝爪土镀酝菊赡素疏坏蜘寞肚4-1数学期望4-1数学期望 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) 常见连续