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二次函数综合题之解题的策略 　　摘 要： 二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广，是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一.要解决好此类题目需要有扎实的基础知识，较强的分析、演算、理解能力，因此是近年来各地中考命题的重点和热点，引起人们的广泛关注.它主要以压轴题的形式出现，本文列举几例，探究二次函数综合题的解题策略. 　　关键词： 二次函数 综合题 解题策略 　　二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广，是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一.要解决好此类题目需要有扎实的基础知识，较强的分析、演算、理解能力，因此是近年来各地中考命题的重点和热点，引起人们的关注.它主要以压轴题的形式出现.那么如何正确求解呢？下面从三个方面阐述其解题策略. 　　一、利用数形结合思想求解策略 　　利用二次函数图像求极值问题，是近几年各地数学中考试卷中很常见的题型，此类题综合性比较强，涉及的知识较广，可以结合几何图形来解题，实际上二次函数图像本身就是一个图形即抛物线，图像上点的坐标就表示相关线段的长度，点点相连成了几何图形，实现从“数或式”到“形”的转化，这一转化为解题创造了有利条件，而能否熟练地解答，则取决于是否把二者有机结合起来，在解题中充分运用函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法.教师要适当引导学生，使他们消除学习定势对解题思路的阻碍，培养他们利用数形结合解题的技巧和能力. 　　例1：已知函数y=x+bx+2的图像经过点（3，2）. 　　（l）求这个函数的关系式；（2）画出它的图像；（3）根据图像指出：当x取何值时，y≥2？ 　　分析：（1）利用待定系数法，可以求出b的值，从而获得函数表达式；（2）根据函数关系式画出函数图像；（3）借助函数图像，由“形”想“数”，要“确定y=2时，x的取值范围“就是要求位于“直线y=2上方”图像的自变量取值范围. 　　解：（1）根据题意，得2=9+3b+2，解得b=-3.所以函数关系式为y=x-3x+2. 　　（2）易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），与y轴的交点坐标为（0，2），对称轴为x=.函数y=x-3x+2的图像如图1所示. 　　图1 　　（3）根据图像可得，当y=2时，对应的x值为0和3.因此，当x≤0或x≥3时，y≥2. 　　二、利用方程思想求解策略 　　二次函数图像与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时，该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是：△0，△=0和△0.要判定△的值的情况，往往要将函数y=ax+bx+c（a≠0）右边配方成完全平方式去确定交点个数.由此可见两者关系非常“密切”.在思路上要分清：方程与△值，函数与x轴交点，△值与x轴交点之间的关系.而当二次函数y=ax+bx+c（≠0）中y=0时，二次函数就转化为一元二次方程ax+bx+c=0，根据一元二次方程根与系数关系可以求出二次函数与x轴两个交点间的距离. 　　例2：如图2，一元二次方程x-3x+2=0的两根x、x（xx）是抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3 ，6）. 　　（1）求此二次函数的解析式； 　　（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和Q的坐标； 　　（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标. 　　分析：（1）求出方程的两个根，就相当于知道了B，C两点的坐标，进而由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法，很容易求出二次函数的解析式；（2）要求交点Q的坐标，只要将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方程组，解这个方程组就可得到；（3）要求“MQ+MA”的最小值时，只需作点A关于x轴的对称点即可，用对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决. 　　图2 　　解：（1）解方程x-3x+2=0，得x=-3， x=1.所以抛物线与x轴的两个交点坐标为C（-3，0），B（1 ，0）. 　　将A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，求得a=，b=1，c=-.所以抛物线解析式为y=x+x-. 　　（2）由y=x+x-y=（x+1）-2，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=3k+b， 将A（3，6）、C（-3，0）代入，求得k=1，b=3，所以直线AC的函数关系式为y=x+3.而Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点其方程为x=1，两方程联立方程组，解得x=-1，y=2，所以点Q坐标为（-1，2）. 　　（3）作A点关于x轴的对称点A′（3，-6），连接A′Q，A′Q与x轴交点M即为所求的点.