解几中过定点问题的作业答案.docxVIP

1.椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. (1)解　由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，得a＝2c，∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2， 则椭圆方程变为eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1.又由题意知eq \r(（2＋c）2＋12)＝eq \r(10)，解得c＝1， 故a2＝4，b2＝3，即得椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. (2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，)) 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝64m2k2－16（3＋4k2）（m2－3）＞0，,x1＋x2＝－\f(8mk,3＋4k2)，,x1·x2＝\f(4（m2－3）,3＋4k2.)))① 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq \f(3（m2－4k2）,3＋4k2). ∵椭圆的右顶点为A2(2，0)，AA2⊥BA2， ∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0， ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， ∴eq \f(3（m2－4k2）,3＋4k2)＋eq \f(4（m2－3）,3＋4k2)＋eq \f(16mk,3＋4k2)＋4＝0， ∴7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－eq \f(2k,7)， 由①，得3＋4k2－m2＞0，② 当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)， 直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 当m2＝－eq \f(2k,7)时，l的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,7)))， 直线过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)，0))，且满足②， ∴直线l过定点，定点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)，0)). 2.已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点，且有.若直线，且和有且只有一个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐标. 解： ，设，。 因为，则， 由得，故。 故直线的斜率， 因为直线和直线平行，设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 由题意，得。 设，则，。 当时，，可得直线的方程为， 由，整理可得，直线恒过点， 当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点. 3.已知抛物线 ，为直线上的两点，两点的纵坐标之积为，为抛物线上一动点，分别交抛物线于两点.问直线是否过定点，若过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由. ? 解：设、、，直线方程为. 由得，则. 由直线的斜率， 则：，即， 又，即：， 令，得，同理 ? 而，即， 整理得. 而，则，即，∴. 故：，即直线过定点