2019届新课标卷文科数学一轮复习讲义专题2.4 函数的单调性与最值.docVIP

第4节 函数的单调性与最值 考点1 单调性的判定和证明 【基础知识】函数单调性的定义 1.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； 2.减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 ，那么就说函数在区间上是减函数. 【注】对任意、，且，若或，则函数在区间为单调增函数； 对任意、，且，若或，则函数在区间为单调减函数. 【方法规律技巧】 1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象,便可判断函数在相应区间上的单调性； 2.性质法： （1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数； （2）函数与函数的单调性相反； （3） 时，函数与的单调性相反（）； 时，函数与的单调性相同（）. 2.导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减. 4.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）. 【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较. 【题组展示】 【1-1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【1-2】已知函数，则（ ） A.在上单调递增　 　 　B.在上单调递增 　C.在上单调递减　　 D.在上单调递减 【1-3】判断函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性。 【变式一】下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【变式二】试讨论函数在上的单调性。 【2014课标Ⅱ理】已知偶函数在上单调递减，.若，则的取值范围是 【2017天津理】已知奇函数在上是增函数，若则的大小关系为（ ） 考点2 函数的单调区间 【基础知识】 1.函数的单调区间：如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. 2.导数与函数单调区间的关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减. 【方法规律技巧】 1.基本初等函数的单调区间： 函数 图象 参数范围 单调区间或单调性 一次函数 单调递增区间 单调递减区间 二次函数 单调递减区间为 ； 单调递增区间为 . 单调递增区间为 ； 单调递减区间为 . 反比例函数 单调递减区间为 和 单调递增区间为 和 指数函数 （且） 单调递减区间为 单调递增区间为 对数函数 （且） 单调递减区间为 单调递增区间为 幂函数 在上递减 没有单调性 在上递增 正弦函数 单调递增区间 单调递减区间 余弦函数 单调递减区间 ； 单调递增区间 正切函数 单调递增区间 图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间. 【2-1】画出函数的图像并判断函数的单调性 . 【2-2】画出函数的单调递增区间为___________. 【变式一】求函数的单调区间 . 复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减. 【2-3】函数的递增区间是（ ） A. B. C. D. 【变式二】函数的单调区间 . 【变式三】写出函数的单调递增区间 . 导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间. 【2-4】函数的单调递增区是（ ） A. B. C.和 D. 【变式四】函数的单调区间 . 【2011重庆理，5】下列区间中，函数在其上为增函数的是( )． A． B． C． D． 【20