第四章-可测函数.docVIP

第四章 可测函数 教学目的： 1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质. 2.掌握通过Egoroff定理证明Lusin定理,它表明Lebesgue可测函数可以用性质较好的连续函数逼近. 3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点： 1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性. 2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征. 3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff定理和Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. §4.1 可测函数及相关性质 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构. 设是可测集上的函数,若对任何,是可测集,则称是可测集上的可测函数. 我们知道,在上连续,、都是开集.所以由可测函数的定义,区间上的连续函数是可测函数. 又如:设是的可测子集.则上的特征函数为 由于 是可测集,所以是上的可测函数.即 定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的. 今后,在不致混淆时,将简记为.类似, 、 、、、等的意义同上. 问:定义中可否换成?答:可以. 定理4.1.2 设函数定义在可测集上,则下面四件事等价. (i)在上可测; (ii)对任何,可测; (iii)对任何,可测; (iv)对任何,可测. 其证明就是利用集合的运算. 证明: 证明:“” “”(反证)若,设,取,得,,矛盾.所以(i) 证明:“” “”(反证)若,设,取,得,,矛盾.所以 (ii)(iii) (iii)(iv) (iv)(i) 定理4.1.3 设函数和都是可测集上的可测函数,则 (i)、、、、都是可测集,其中,是广义实数. (ii)是可测集. 证明: (i)先设是实数,则是可测集; 若,则可测; 若,则可测. 可见, 对任何广义实数,是可测集. 对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得. (ii)分析:,使,若,则,可,不管怎样,、之间可以插进有理数.即:若是有理数全体,则 再利用函数和都是可测函数,可得右侧为可测集,即是可测集. 在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限函数连续,否则未必. 如:,. 不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性. 定理4.1.4 设是可测集上的一列可测函数,则函数、、、都是可测函数. 证明:任取,则可测.(此等式表明至少有一个,否则都,就说明为上界,由上确界是最小上界,便会得出) 可测. (至少有一个,否则都,为下界,其最大下界) 再由、知、都是可测函数. (的上极限,;的下极限,) 实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭. §4.2 可测函数的其它性质 设是可测集,是一个与中每一点有关的命题.若除了的一个零测子集外,使对每一都成立,则称在上几乎处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere). 例如,在R上几乎处处收敛于0或说a.e.在R(因为只有时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor集上的特征函数 a.e.在(因为Cantor集为零测集). 若说在R上a.e.有限,意即不有限的点的集合为零测集. 为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数,其值域为区间. 数学分析中求R积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设是可测集D上的一个函数,若 是由有限个实数,,…,组成,并且 都是可测集,则我们称是D上的一个简单函数.由此可以表示为 其中可记作,为上的特征函数. 由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测). 易知,若、都是简单函数,则、、、、等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的. 下面说明可测函数一定是简单函数的极限. 定理4.2.1 设是可测集D上的可测函数,则有D上的简单函数列,使对每一,,此外 (i)