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转置张量等于其负张量的张量。即满足 反对称张量的主对角张量均为零。三维二阶反对称张量的独立分量只有三个。n 维二阶对称张量有 个独立分量。 特殊张量，主方向与主分量 反对称张量 * 任意二阶张量 T 均可分解为对称张量 S 和反对称张量 A 之和： 特殊张量，主方向与主分量 加法分解 * 任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张量 P 和偏斜张量 D 之和： 其中 特殊张量，主方向与主分量 偏斜张量 * 偏斜张量为 偏斜张量三个对角分量之和为零： 特殊张量，主方向与主分量 偏斜张量 * 笛卡尔系中以erst为分量的三阶张量，又称排列张量 特殊张量，主方向与主分量 置换张量 * 所有分量均不因坐标转换而改变的张量。 例如：单位张量I、球形张量、置换张量等。 标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。 特殊张量，主方向与主分量 各向同性张量 * 主方向与主分量 二阶张量可定义为一种由矢量 a 到矢量 b 的线性变换，即 一般说，矢量 a 与 b 并不同向。对于给定的任意二阶张量 T 能否找到某个矢量 ?，它在线性变换后能保持方向不变，即 或 特殊张量，主方向与主分量 * 其中?是标量。上式是求 ?j 的线性齐次代数方程组，存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零 特殊张量，主方向与主分量 * 这是关于?的特征方程；其中 是[Tij]的主对角分量之和，称为张量 T 的迹，记作trT 是矩阵[Tij]的二阶主子式之和。 特殊张量，主方向与主分量 * 是矩阵的行列式，记作detT。 特征方程的三个特征根称为张量T 的主分量。当T是实对称张量时，存在三个实特征根 特殊张量，主方向与主分量 * 由特征方程求特征根： 由每个?(k) 分别求特征方向： 方向矢量 ?j(k) 特殊张量，主方向与主分量 * 由上述方法求得的三个单位矢量?(k)＝?j(k)ej 称为 张量 T 的主方向。 注： 若?(1) , ?(2) , ?(3)互不相等，则?(1), ?(2), ?(3)互相垂直。 对于二重根情况，例如?(1)＝?(2)，则垂直于?(3)的任何方向都是主方向，可任选其中两个互相垂直方向作为?(1)和?(2)。 对于三重根情况，例如?(1)＝?(2)＝ ?(3)，则任何方向都是主方向，可任选三个互相垂直的方向作为?(1), ?(2)和?(3) 。 特殊张量，主方向与主分量 * 主坐标系 沿主方向?(1), ?(2),?(3)的正交坐标系称为张量 T 的主坐标系。在主坐标系中，有 当T 为应力张量时，?(k) 就是三个主应力?1, ?2和?3 特殊张量，主方向与主分量 * 特征方程是一个与坐标选择无关的普遍方程，它的三个系数I1, I2和I3分别称为张量T的第一、第二和第三不变量。 特征方程的根?(k)也是三个不变量，相应的主方向?(k)也与坐标无关。 特殊张量，主方向与主分量 不变量 * 目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号?ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分 * 张量函数及其微积分 在空间所论域内, 每点定义的同阶张量, 构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。 这里简要介绍笛卡儿坐标系中的张量分析。 * A: 标量的矢量函数 张量函数 一个张量 F 依赖于另一张量 T 而变化 矢量 u是 t 的函数，ui 也是 t 的函数，如 ui可导，则矢量 u 对 t 的导数为: 即 张量函数及其微积分 * B:矢量的标量函数 标量 f 是矢量 u 的函数即 若 f 可连续偏导,则 f 对u的导数是一个矢量 张量函数及其微积分 * 矢量u是矢量v的函数，即 若ui的偏导连续，则 u对v的导数是一个二阶张量 张量函数及其微积分 C:矢量的矢量函数 * 若 f 对二阶张量 Tij 的偏导连续,则 若标量 f 是二阶张量 Tij 的函数,即 f 相对于T 的导数是二阶张量 张量函数及其微积分 D:二阶张量的标量函数 * 若φ是定义在空间区域的张量，φ是一个张量场，则 则φ对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为 则φ的导数和微分记为 张量函数及其微积分 E:张量场 * ? Hamilton 算子 φ的导数和微分可用Hamilton算子改写为 右梯度 同样定义 左梯