线面垂直与面面垂直典型例题.docVIP

线面垂直与面面垂直 基础要点 线面垂直 线面垂直 面面垂直线线垂直 面面垂直 线线垂直 AUTONUM 、若直线与平面所成的角相等，则平面与的位置关系是（ B ） A、 B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上结论都不正确 AUTONUM 、在斜三棱柱,,又,过作⊥底面ABC，垂足为H ，则H一定在（ B ） A、直线AC上 B、直线AB上 C、直线BC上 D、△ABC的内部 AUTONUM 、如图示，平面⊥平面，与两平面所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则（ A ） A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3 AUTONUM 、如图示，直三棱柱中，, DC上有一动点P，则△周长的最小值是　　　　　 5.已知长方体中，, 若棱AB上存在点P，使得,则棱AD长 的取值范围是 。 题型一：直线、平面垂直的应用 1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点. 已知. 求证：(1) QUOTE ；(2) QUOTE . 证明： (1) 因为D，E分别为棱PC，AC的中点， 所以DE∥PA. 又因为PA ? 平面DEF，DE ?平面DEF， 所以直线PA∥平面DEF. (2) 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4. 又因 DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE丄EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC. 又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC. 2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点. （1）求证：平面平面；（2）求证：平面. 证明：（1）在三棱柱中， . (2)取AB的中点G，连接EG，FG 、分别为、的中点, , ,则四边形为平行四边形， . 3．如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平面．求证． 分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．． 证明：在平面内作，交于．因为平面平面于，平面，且，所以．又因为平面，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因为平面，所以． 说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直． 4.　过点引三条不共面的直线、、，如图，，，若截取 (1)求证：平面平面； (2)求到平面的距离． 分析：要证明平面平面，根据面面垂直的判定定理，须在平面或平面内找到一条与另一个平面垂直的直线． (1)证明：∵， 又， ∴和都是等边三角形， ∴， 取的中点，连结，∴． 在中，，∴，， ∴，∴． 在中，∴，，， ∴，∴，∴平面． ∵平面，∴平面平面． 或：∵，∴顶点在平面内的射影为的外心， 又为，∴在斜边上， 又为等腰直角三角形，∴为的中点， ∴平面．∵平面，∴平面平面． (2)解：由前所证：，，∴平面， ∴的长即为点到平面的距离，， ∴点到平面的距离为． AUTONUM 、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB,AG⊥SD 6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为的菱形，，M是PB中点。 (1)求证：PACD (2)求证：平面PAB平面CDM 7.在多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE//CD。 (1)求证：AE//平面BCD； (2)求证：平面BED平面BCD 题型二、空间角的问题 1.如图示，在正四棱柱中，，E为上使的点，平面交于F，交的延长线于G，求： （1）异面直线AD与所成的角的大小 （2）二面角的正弦值 2.如图，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小． 分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解． 解：在射线上取一点，作于，连结，则为射线与平面所成的角，．再作，交于，连结，则为在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，，为