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二次损耗条件下消耗战博弈研究 　　[摘 要] 本文首先简要介绍了进化稳定策略的定义和一些简单性质，并主要就进化博弈上具有代表性的消耗战博弈模型进行了深入地研究。 　　[关键词] 进化博弈 进化稳定策略 消耗战博弈 　　 　　进化上的稳定策略（简称进化稳定策略）是进化博弈理论最基本的均衡概念，它具有广泛的应用性并在发展中得到了不断完善。消耗战博弈模型是进化博弈中典型的模型，它既可以用来分析生物居群中两个个体的胜负取决于坚持对峙的时间的博弈，也可以分析有两个国家参加的战争中胜利取决于谁坚持到最后的博弈以及一些实际的经济问题。 　　一、进化稳定策略 　　进化稳定策略的基本思想：假设存在一个全部选择某一特定策略的大群体和一个选择不同策略的突变小群体，这个突变小群体进入到该大群体而形成一个混合群体，如果突变小群体在混合群体中博弈所得到的收益大于原群体中个体所得到的收益，那么小群体就能侵入到大群体，反之就不能侵入到大群体。 　　首先看 Maynard Smith和Price所定义的进化稳定策略。 　　一个策略u1∈A是进化稳定策略。如果对任意的u2∈A,u2≠u1,满足:E(u1,u1)≥E(u2,u1);而当E(u1,u1)=E(u2,u1)时,有E(u1,u2)＞E(u2,u2)成立。其中,A是进化博弈的策略集;E是群体中个体博弈时的收益函数。 　　1982年,Maynard Smith对上述定义做了改进，给出了如下定义: 　　一个策略u1是进化稳定策略。如果对所有的备择策略满足如下条件之一，ESS条件(1）:即E(u1,u2)＞E(u2,u1),即u1一定是一个关于它自己的最好对策。ESS条件(2）:若E(u1,u1)=E(u2,u1)则E(u1,u2)E(u2,u2),即若u2是关于u1的最好的备择策略,则u1对u2一定是一个比u2对自己较好的策略。 　　二、进化稳定策略的性质 　　这一部分给出在推导和证明消耗战博弈的进化稳定策略时，将要用到的三个进化稳定策略的简单性质，这些性质都可以由进化稳定策略的定义直接推出。 　　性质1:如果策略u是进化稳定策略,那么对任意u’∈A都有E(u,u)≥E(u’,u)。 　　性质2:如果策略u是进化稳定策略，且对任意策略u’∈A都有E(u,u)=E(u’,u),那么必有E(u,u’)≥E(u’,u’)。其中,A是进化博弈的策略集;E是收益函数。 　　在介绍性质3之前,首先看一个定义:如果u是一个进化稳定策略,则组成u的纯策略,称为u的合算策略。 　　性质3:对任意的进化稳定策略u,一方使用u的合算策略，而另一方使用策略u,所得到的收益与双方都使用策略u所得的收益相同。 　　三、消耗战博弈模型 　　生物学上，许多的交配特性往往体现为动物的炫耀行为。胜利往往属于炫耀时间最长的一个。竞争的目的可能是占领一块地盘或占有雌性等，这种炫耀方式问题是双方花费时间，而本来这些时间可以使用的更有利一些。也可以参照对消耗战博弈的描述:生物居群中两个个体间博弈的胜负取决于坚持对峙的时间，个体的策略为对峙时间t的选择。其中策略t表示对峙到时间t,然后停止。假定胜利方获得的收益为ν,同时要接受来自时间损耗的惩罚值,如果惩罚值随时间均匀增加(即为时间的线性函数）,这种条件下的消耗战博弈模型在本文中称为线性损耗消耗战博弈模型。 　　1.线性损耗模型 　　(1)模型描述:一生物居群中的两个同种个体，它们为了自身的利益(寻求配偶、争夺食物等)而进行对峙(斗争)并且胜利属于坚持到最后的一方。 　　设个体1选择策略t1，个体2选择策略t2，并且t1和t2均属于[0,∞)，则个体1的收益函数为: 　　 　　 　　 其中,ν0,c0。 　　 　　(2)模型的进化稳定策略:根据王青川等学者所著《进化上的稳定策略之数学模型研究》一文得到以下的结论: 　　①任何一个纯策略都不是进化稳定策略。 　　②混合策略以概率分布是一个进化稳定策略。 　　2.二次损耗模型 　　针对一次损耗条件下的消耗战模型只能描述博弈双方的消耗随时间均匀增加而无法应用到消耗随时间逐渐加快时的缺点，提出了一种新的适用于消耗随时间加快的二次损耗消耗战模型。 　　(1)模型描述:在生物居群中两同种个体为了自身的利益而进行争夺。两个体为了确保最后的胜利，首先进行战前准备活动，然后投入到双方的斗争之中。由于体力、耐力等原因双方会逐渐加大斗争的投入来尽快结束这种斗争，胜利属于坚持到最后的一方。把这种两个体间的争夺看作是两个体之间的博弈，把两个体分别作为博弈的两个参与者。 　　设个体1选择策略t1，个体2选择策略t2，并且t1和t2均属于[0,∞),则个体1的收益函数为: 　　 　　 其中,ν0，c0,b≥0。