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必威体育精装版高考数学解题技巧大揭秘--专题12-三视图及空间几何体的计算问题
专题十二 三视图及空间几何体的计算问题
1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ).
A.球 B.三棱锥
C.正方体 D.圆柱
答案:D [球的三视图都是圆;三棱锥的三视图可以都是全等的三角形;正方体的三视图都是正方形;圆柱的底面放置在水平面上,则其俯视图是圆,正视图是矩形,故应选D.]
2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ).
A.28+6eq \r(5) B.30+6eq \r(5)
C.56+12eq \r(5) D.60+12eq \r(5)
答案:B [该三棱锥的直观图,如图所示,
其中侧面PAC⊥底面ABC,PD⊥AC,AC⊥BC,可得BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC.故S△PAC=eq \f(1,2)×5×4=10;S△ABC=eq \f(1,2)×5×4=10;PC=5,所以S△PBC=eq \f(1,2)×4×5=10;由于PB=eq \r(PD2+BD2)=eq \r(16+25)=eq \r(41),而AB=eq \r(52+42)=eq \r(41),故△BAP为等腰三角形,取底边AP的中点E,连接BE,则BE⊥PA,又AE=eq \f(1,2)PA=eq \r(5),所以BE=eq \r(41-5)=6,所以S△PAB=eq \f(1,2)×2eq \r(5)×6=6eq \r(5).所以所求三棱锥的表面积为10+10+10+6eq \r(5)=30+6eq \r(5).]
3.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( ).
A.eq \f(\r(2),6) B.eq \f(\r(3),6)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案:A [在直角三角形ASC中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,∴SA=eq \r(4-1)=eq \r(3);同理SB=eq \r(3).过A点作SC的垂线交SC于D点,连接DB,因△SAC≌△SBC,故BD⊥SC,故SC⊥平面ABD,且平面ABD为等腰三角形,因∠ASC=30°,故AD=eq \f(1,2)SA=eq \f(\r(3),2),则△ABD的面积为eq \f(1,2)×1×eq \r(AD2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)=eq \f(\r(2),4),则三棱锥的体积为eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×2=eq \f(\r(2),6).]
4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.
解析 利用三视图得几何体,再求表面积.由三视图可知,该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱,其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1,中间被挖去的是底面半径为1,母线长为1的圆柱,所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积,即为2(4×3+4×1+3×1)-2π+2π=38.
答案 38
在空间几何体部分,主要是以空间几何体的三视图为主展开,考查空间几何体三视图的识别判断,考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题.试题的题型主要是选择题或者填空题,在难度上也进行了一定的控制,尽管各地有所不同,但基本上都是中等难度或者较易的试题.
该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征,通过对各种空间几何体结构特征的了解,认识各种空间几何体的三视图和直观图,通过三视图和直观图判断空间几何体的结构,在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.
必备知识
正棱锥的性质
侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.
三视图
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.
(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.
几何体的切接问题
(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长.
(2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何问题.
必备方法
1.几何体中计算问题的方法与技巧:①在正棱锥中,正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成
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