2-抽象函数求值问题.docVIP

一对一个性化辅导 [键入文字] PAGE \* MERGEFORMAT1 授课教案 辅导日期：2016年 月 日 辅导时间： 学员： 二、求值问题 抽象函数的性质一般是用条件恒等式给出的，可通过赋值法解决，赋值需要明确目标，特殊优先，细心研究，反复试验。 ★★★★例1.函数f(x)对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 【解析一】令x=y=0（特殊值优先，而f(1)一时难求），得f（0）=0，已经知道一个特殊值的函数值了，就要想办法找函数周期或递推式：令y=0（消元思想），发现没起到消元作用，已知f（0）=0那就令x=0，消去x，并令y=1（题目提到f(1)≠0，特殊优先）解得f(1)=,发现关于y2的关系式比较复杂，令y=1（求出f(m)则可以令自变量等于m以达到消掉次元及化简的作用），可得f(x+1)= f(x)+ ,则f(x+1)- f(x)=,，递推规律找出，又已知f（0）=0，易得f(2001)=。 【解析二】这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式即f(n+1)与f(n)关系着手： 需求f(1)， 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 需求f(0)，则令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=, ！！！！！y=f-1(x+2)表示x+2代入f(x+2)的反函数中还是表示f(x+2)的反函数？反函数上下或左右平移原函数会怎样y=f-1(x+2)-m的反函数又怎样？下题求的反函数方式不一定正确 ★★★★例2.R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= . 【解析】由于求的是f(2009)，需找周期或递推公式，则考虑将y=f-1(x+2)化为f(x)的形式，由y=f-1(x+2)得其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又y=f(x)为R上的奇函数，f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4018.本题难点在于由y=f-1(x+2)得其反函数y=f(x)-2,举个简单的一次函数，令f(x)=y=2x+1则其反函数求解过程是反解x得x=,改写x,y得其反函数f-1(x)=y=，又f(x+2)=y=2(x+2)+1,则求y=f-1(x+2)的过程是反解f(x+2)=2(x+2)+1中的x并把x改写成y，y改写成x,即x+2=改写后即y+2=，化解即可。由以上过程我们发现求的反函数，即令= f-1(x),求解出y即可。 ★★★★★例3.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________. 【解析】考虑g（x）用f(x)表达的形式，要求g(x)需要知道f(x)解析式，显然通过上面条件无法求出，故考虑f(x)用g(x)表达的形式代入以上条件来寻求g（x）的性质规律：由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x) ≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)故g(x)=g(x+1) 又赋值得g(1)=1， 故g(2002)=1. ★★★练1.已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求f（3），f（9）的值。 【解析】赋值法是解此类问题的常用技巧，可观察已知与未知的联系，巧妙赋值把已知条件欲求问题沟通起来。取，得，因为，所以 又取得。 ★★★练2. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 【解析】取x=y=2得f(2)=1,取x=y=得 = 此类题速解法是联系函数模型，可在几秒内解出，但必须充分利用条件，准确说f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数模型的必要而不充分条件。如练1. ★★★练3. 。 . 【解析】速解法可以看出函数模型为,符合该条件，易得一式=2000，二式=16.也可赋值发现规律，一式令y=1即可，二式赋值将各函数值都求出或找出分子分母关系即可。 ★★★练4．对任意整数满足：，若，则（） A.-1 B.1 C. 19 D. 43 【解析】选C。易得f(8)