第七章-理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动.pptVIP

上面只考虑了角变形运动，实际上流体微团在运动中变形和旋转是同时完成的。设流体微团旋转角度为 ，变形角度为 ，如图7-4(d)所示 在旋转运动中，流体微团的旋转角速度定义为每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。于是流体微团沿z轴的旋转角速度分量： 在角变形运动中，流体微团的角变形速度定义为每秒内一个直角的角度变化量，则在xoy面内的角变形是 。于是流体微团在垂直于z轴的平面上的角变形速度分量 ，即 同样可求得在垂直于x轴和y轴的平面上的角变形速度分量之半 和 。于是，流体微团的角变形速度之半的分量是: 值不变。经过简单组合，可将该式写成: 上式中，各速度分量的第一项是移动速度分量，第二、三、四项分别是由线变形运动、角变形运动和旋转运动所引起的线速度分量。此关系也称为亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理，该定理可简述为：在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分，与O点相同的平移速度（移运）；绕O点转动在A点引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形）在A点引起的速度（变形运动）。 亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发展有深远的影响。由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能把运动分成无旋运动和有旋运动。正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体变形速度与流体应力联系起来，这对于粘性流体运动规律的研究有重大的影响。 二、欧拉积分 当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，式（7-19）右端为零。若在流场中任取一有向微元线段 ，其在三个坐标轴的投影分别为dx、dy、dz，将它们分别依次乘式（7-19）并相加，得: 二、速度环量、斯托克斯定理 1．速度环量:在流场的某封闭周线上，如图7-9（b），流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示，即: 三、汤姆孙定理、亥姆霍兹定理 1．汤姆孙（Thomson）定理 理想正压性流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体周线的速度环量不随时间变化，即： 证明 ：在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K，它随流体的运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。沿该线的速度环量可表示为式（7-28），它随时间的变化率为： （2）亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理） 理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。 如图7－11所示，K为涡管表面上的封闭周线，其包围的面积内涡通量等于零。由斯托克斯定理知，周线K上的速度环量应等于零；又由汤姆孙定理，K上的速度环量将永远为零，即周线K上的流体质点将永远在涡管表面上。换言之，涡管上流体质点将永远在涡管上，即涡管是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。 （3）亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理） 理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强度不随时间变化。 若周线K为包围涡管任意的截面A的边界线。由汤姆孙定理知，该周线上的速度环量为常数。根据斯托克斯定理截面A上的旋涡强度为常数。因为A为任意截面，所以整个涡管各个截面旋涡强度都不瞬时间发生变化，即涡管的旋涡强度不随时间变化。 由亥姆霍兹三定理可知，粘性流体的剪切应力将消耗能量，使涡管强度逐渐减弱。 第六节 二维旋涡的速度和压强分布 假设在理想不可压缩的重力流体中，有一象刚体一样以等角速度 绕自身轴旋转的无限长铅垂直涡束，其涡通量为J。涡束周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴等速圆周运动，由斯托克斯定理知 。由于直线涡束无限长，该问题可作一个平面问题研究。可以证明涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区，其半径为 ；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。 在环流区内，速度分布为: 在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区内半径为 的点和无穷远处的伯努里方程: 式中的 即为 ， 为无穷远处的压强。将 代入上式得: 由上式可知，在涡束外部的势流区内，随着环流半径的减小，流速上升而压强降低；在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值，即： 涡束内部的速度分布为: 第七节 速度势和流函数 一 速度势函数 对于无旋流场，处处满足： ，由矢量分析知，任一标量函数梯度的旋度恒为零，所以速度 一定是某个标量函数 的梯度，即: 因 则有: