运用递推关系研究一类排列组合问题.pdfVIP

中学数学研究 2005年第10期 arctan3，al=tan2a，a2二tan4a，…，a二二tan2na 3a_-，一a3-,， ___ ‘ _ “_，_。 二tan(2narctan3). 号选a万2n-n1气(”一，‘“，3,),a。一”，求数列 四、三倍角的余弦公式模型 {an}的通项公式. 例4 已知数列{anI，满足an=4嵘-1` 分析:此问题在教材中的模型是正切的三 3tana一tan3a 3a”-:(n=1,2,3,…)，。。二鲁，求数列{。二}的 倍角公式tan3口= “’n一几、” ‘’一’“’ /’‘U 7’一J、朴/动’‘，’’n.i 1一3tan2a 通项公式. 解:设ao=tana，。〔(O,粤)， 分析:此问题在教材中的模型是三倍角的 G 余弦公式cos3a=4cos3a一3cosa· 则a=arctan5，a1=3a。一a弓 1一3a若 解:设ao=cosa，aE(0, 要)， 石 3tana)t-a2r}a一tail3a，a2一tan32a，”’， jQ。一arccos专，。，一4a。一3a。一4cos3a- 1 一 J kill a an=tan3na=tan(3narctan5). 3cosa=ms3a，a2=cos32a，…，an=cos3na= 这种数列模型还有很多，如余切的三倍角 ，__ 1、 公式、三角函数的n倍角公式(n)4)等.只要 cos(3narccos言). — 、“~、— 7/‘ 我们平时善于观察、分析、类比，就可以发现许 五、正切的三倍角公式模型 多新的问题，这对于提高我们的数学素养是大 例 5 已知数列 !anf，满足 ‘ 有裨益的. 运用递推关系研究一类排列组合问题 浙江省东阳市第二高级中学 (322100) 包志秀 先看下面一个问题: 元素a:不在某指定的一个位置k1的排法数. 某班委进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人 人(2)表示n个元素中某二指定的元素 中选出三人分别担任班长、付班长、学习委员， at,a2不在对应的k1,k:位置的排法数. 规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职， 则不同的任职结果有多少种? 显然fn(1)=(n一1)·(n一1)!，f(1)= 这是排列组合中常见的“不能”问题，这一 0. 类问题由于思维较复杂，不便分析和推断，学生 定理:几(k)=几(k一1)一几一i(k一1) 普遍感到困难，笔者通过对这一类问题的深人 (k簇n). 探究，发现运用递推关系，能起到事半功倍的效 证明:从a,,a2,111,an个元素中有a,, 果.介绍如下: a2,...+a