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二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案
二次函数专题训练(正方形的存在性)
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1.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(l,0),B(﹣3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点P在直线BD上,当PE=PC时,求点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,作PF⊥x轴于F,点M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,G为抛物线上一动点,当以点F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形时,求点M的坐标.
2.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;
(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.
3.如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣1,0),B(3,0),点M、N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.过点N作NF⊥x轴,垂足为点F
(1)求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式;
(2)若M点是抛物线上对称轴右侧的点,且四边形MNFE为正方形,求该正方形的面积;
(3)若M点是抛物线上对称轴左侧的点,且∠DMN=90°,MD=MN,请直接写出点M的横坐标.
4.(2015 贵州省毕节地区) 如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是M′.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C,求△CAB的面积;
(3)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
5. (2016 辽宁省铁岭市) .如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;
(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请直接写出点Q的坐标.
6. (2016 广东省茂名市) .如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;
(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点P作PF⊥x轴于点F,G为抛物线上一动点,M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标.
二次函数专题训练(正方形的存在性问题)参考答案
1.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(l,0),B(﹣3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点P在直线BD上,当PE=PC时,求点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,作PF⊥x轴于F,点M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,G为抛物线上一动点,当以点F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形时,求点M的坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(﹣3,0),
∴,∴,∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;
(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;
∴C(0,﹣3),抛物线的顶点D(﹣1,﹣4),
∴E(﹣1,0),
设直线BD的解析式为y=mx+n,
∴,∴,∴直线BD的解析式为y=﹣2x﹣6,
设点P(a,﹣2a﹣6),
∵C(0,﹣3),E(﹣1,0),
根据勾股定理得,PE2=(a+1)2+(﹣2a﹣6)2,
PC2=a2+(﹣2a﹣6+3)2,
∵PC=PE,
∴(a+1)2+(﹣2a﹣6)2=a2+(﹣2a﹣6+3)2,
∴a=﹣2,∴y=﹣2×(﹣2)﹣6=﹣2,
∴P(﹣2,﹣2),
(3)如图,作PF⊥x轴于F,
∴F(﹣2,0),
设M(d,0),
∴G(d,d2+2d﹣3),N(﹣2,d2+2d﹣3),
∵以点F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形,必有FM=MG,
∴|d+2|=|d2+2d﹣3|,
∴d=或d=,
∴点M
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