求极限方法总结-全.docVIP

极限求解总结 1、极限运算法则 设limn→∞an lim lim lim 2、函数极限与数列极限的关系 如果极限limx→x0f(x)存在，xn为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0 3、定理 有限个无穷小的和也是无穷小； 有界函数与无穷小的乘积是无穷小； 4、推论 常数与无穷小的乘积是无穷小； 有限个无穷小的乘积也是无穷小； 如果limf(x)存在，而c为常数，则 如果limf(x)存在，而n是正整数，则 5、复合函数的极限运算法则 设函数y=fgx是由函数u=gx与函数y=f(u)复合而成的，y=fgx在点x0 6、夹逼准则 如果 当x∈Ux0,r(或 lim 那么limx→ 7、两个重要极限 lim lim 8、求解极限的方法 （1）提取因式法 例题1、求极限lim 解：lim 例题2、求极限lim 解：lim 例题3、求极限lim 解：limx （2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势） 例题1、lim 解：令x=y+π lim 例题2、lim 解：令x=y+1 limx→1x 例题3、lim 解：令y=1 limx→+∞x （3）等价无穷小替换法 x→0 sinx~x~ ex-1~x~ 1-cosx 注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小 例题1、lim 解：lim 例题2、lim 解：lim 例题3、lim 解：lim 例题4、lim 解：lim 例题5、lim 解：lim 令y=x-1 原式=lim 例题6、lim 解：令y=1- lim （4） 例题1、lim 解：解法一（等价无穷小）： lim 解法二（重要极限）： lim （5）夹逼定理（主要适用于数列） 例题1、lim 解：4 所以lim 推广：a lim 例题2、lim 解：1 x0 1-x≤x 所以x→ x0 1-x≥x 所以x→ 例题3、lim 解：2n+1 0≤ lim 所以lim 例题4、lim lim 2n+2 所以lim 例题5、lim 解：n n 1 所以n lim （6）单调有界定理 例题1、lim 解：x xn单调递减 极限存在，记为A 由（*）n→∞求极限得：A=23 所以A=0 例题2、x0=1 x 解：x x xn x 所以x 0xn+12 n→∞时 L = 例题3、x 求极限lim 解：x x 当x 当0x1 所以0xn+1 n→∞时 L=a 注：xn单调性有时依赖于x 例题4、x11 x 解：xn+1- x x 所以x2n+1单调递减，同理，x 有因为0 故limn→∞x2n+1和 x 即A= 解得 A=B=5 所以 lim （7）泰勒公式法 例题1、设f有n阶连续导数n≥2 f f f 证明：lim 证明：f 即f f f f θ= h→ （8）洛必达法则 例题1、求lim 解：lim 例题2、求lim 解：lim 例题3、求lim 解：lim 例题4、求lim 解：lim （9） 利用函数的图像 通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。极限方法是研究变量的一种基本方法，在以后的学习过程中，极限仍然起着重要的作用，因此学习、掌握极限是十分必要的。相信通过对极限的学习总结，我们在今后的学习中能更进一步。