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§3 基本不等式1 一、新课引入 A D B C E F G H a b 不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A B C D E(FGH) a b 证明推导1： 结论： 如果a、b∈R,那么 a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号) 以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法。 如果a、b∈R,那么有 ( a-b ) 2≥0 ( 1 ) 把(1)式左边展开，得 a 2 -2ab+b 2 ≥ 0 ∴ a2+b 2 ≥2ab ( 2 ) (2)式中取等号成立的充要条件是什么？ 证明推导2： 证明推导3： 证明推导4： 均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦. 均值不等式的代数解释为: 两个正数的等差中项不小它们的等比中项. 两个不等式的适用范围不同 结论推广 公式 如果a1，a2，…，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+···+an ) / n 叫做这n个正数的算术平均数 ， 叫做这n个正数的几何平均数 。 ? a1a2···a n n 结论：n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。 如果a1，a2，…，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+···+an ) / n ≥ 二、新课讲解 其中当且仅当a＝b时取等号. 三、探索 由a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式(2)，有 a 2 +b 2 ≥2ab; b 2 +c 2 ≥2bc; c 2 +a 2 ≥2ca. 把以上三式叠加，得 a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca （a、b、c∈R） ( 3 ) (当且仅当a=b=c时取“=”号) 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法—迭代与叠加. 证明： a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca （a、b、c∈R ） (当且仅当a=b=c时取“=”号) 变式： 3种情况，5个结论 ： 推广： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。 应用要点： 一正 二定 三相等 2、(04重庆）已知 则x y 的最大值是 。 练习：1、当x0时， 的最小值为 ，此时x= 。 2 1 思考：当x0时表达式又有何最值呢？ § 3. 基本不等式(2) 一、复习引入 二、新课讲解 例3.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. 2 函数有最值，并求其最值。 例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所