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函数的最大值和最小值教学设计——范永祥
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函数的最大(小)值
韶关市田家炳中学 范永祥
一、教材分析
本课是人教版教材《数学1》第一章1.3节内容。本课时主要学习函数的最大(小)值的概念,探索函数最大(小)值 求解方法。本节课是在学生学习了函数概念、单调性的基础上所研究的函数的一个重要性质。函数最大(小)值的概念是研究具体函数值域的依据,对于学生进一步研究函数图像性质,以及将来研究不等式问题有重要作用。函数最大(小)值的研究方法也具有典型意义,对加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般的研究方法有很大帮助。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础,还有利于培养学生的抽象思维能力,及分析问题和解决问题的能力。本课题分两课时,本节是第一课时。
二、学情分析
本节课的教学以函数的最大(小)值的概念为主线,它始终贯穿于整个课堂教学过程。按现行教材结构体系,学生只学过一次函数、二次函数、正、反比例函数,学生的现有认知结构中 知道“函数最大(小)值就是函数值中最大(小)的一个”的常识,并未接触“最大(小)值”一概念,对最大(小)值的理解缺乏数学严谨性,所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势。
三、教学目标:
1.知识与技能:
理解函数的最大(小)值及其几何意义.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.过程与方法:
通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值,有利于培养以形识数的解题意识.
3.情态与价值
学习过程中,培养学生积极情绪,树立学习信心,形成科学严谨治学态度,同时培养学生坚强意志以及创新精神,利用函数的单调性和图象求函数的最大(小)值,解决日常生活中的实际问题,激发学生学习的好奇心积极性.
四、教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义。
五、教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值.
六、教学用具:多媒体.
七、教学方法:学生通过画图、观察、思考、讨论,从而归纳出求函数的最大(小)值的方法和步骤.
八、教学过程:
(一)创设情景,揭示课题.
问题一:什么是函数的最大(小)值?
考察:画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征?
①②③
④
存在问题:
= 1 \* GB3 ① 不会用描点法作图,二次函数的图像性质陌生;
= 2 \* GB3 ②画图忽视定义域,忽视端点的实与虚;求最值环节出错(求导、判号、导函数的值正负与原函数单调关系、计算)
= 3 \* GB3 ③说不出图像最高点的特征。
针对上述问题、教师组织学习小组学习研讨、小组长小结后老师进行点评,揭示问题本质属性,进行抽象概括,形成定义。
【设计意图】以实践引发反思,激发学生探究热情,提高学习兴趣,提高学生对学习的研究能力,感受到数学在现实问题中应用的重要性,培养学生用数学解决问题的意识,同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围 。
(二)研探新知,抽象概括
1.函数最大(小)值定义
最大值:一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的,都有;(2)存在,使得.
那么,称M是函数的最大值.
类比:将上述条件改为,其它不变,M就是函数的最小值
注意:
①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 ,使得 ;即源于x( )
②函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,
即对于任意的 ,都有 .
定义的核心条件是“范围内”“有大小”“能取等”
转而言之“最值源于x( ),大于或等于 ”
可以概括为 或
③函数的最值性质是相对定义域而言,是整体性质,
(不能只考虑区间端点的函数值例如: 的最小值为 )
与单调性有区别,后者为局部性质
【设计意图】增强反思意识与习惯,培养问题意识。
“问起于疑,疑源于思”,数学最积极的成分是问题,
提出问题并解决问题是数学教学的灵魂。同时培养学生思维的严谨性,系统性。
(三)质疑答辩,排难解惑.
问题二:怎样求函数的最大(小)值
方法一:图像法
如图为函数的图像指出它的最大值和最小值并指出它们对应的x值.
【设计意图】培养学生形成性思维,数形结合的思想,直观认识函数的最值,培养问题意识。
从图像的方法直接探索函数最值是非常重要的方法。
变式1、函数f(x)的图象如下图所示,则最大值、最小值分别为( )
变式2、函数最大值为
变式3、求函数在下列给定x值的区间上的最大值和最小值
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