第十节--连续函数的运算与初等函数的连续性.docVIP

第一章 函数与极限（§10连续函数的运算与初等函数的连续性） PAGE PAGE 1 连续函数的运算与初等函数的连续性 要求：会利用函数的连续性求函数的极限，会讨论分段函数的连续性。 重点：利用函数的连续性求函数的极限。 难点：分段函数连续性的讨论。 作业：习题1－10（） 问题提出 为了讨论函数的连续性，用定义逐点讨论将是很困难的．但是，如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多，因此来讨论连续函数的四则运算，复合运算，从而讨论我们主要研究对象――初等函数连续性． 一、连续函数的和、差、积及商的连续性 定理1 有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数． 定理2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数． 定理3 两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零． 例1． 函数，因为在区间内连续，故由定理3知正切和余切函数在它们的定义域内是连续函数． 结论2 三角函数在它们的定义域内是连续函数． 二、反函数与复合函数的连续性 定理4 如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续． 例2． 正弦函数在区间上单调增加且连续，所以它的反正弦函数在相应的闭区间上也是单调增加且连续． 同样，反余弦函数在区间上是单调减少且连续； 反正切函数在区间内是单调增加且连续； 反余切函数在是单调减少且连续． 结论3 反三角函数在它们的定义域内是连续函数． 定理5 设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点处连续，那么复合函数，当时的极限也存在且等于，即． 说明 （1）上式又可写为； （2）定理5中的换成可得类似定理． 例3．求极限． 解 ． 定理6 设函数在点处连续且，而函数在点处连续，那么复合函数在点处也是连续的． 证明 因为，所以当时，有 ． 又因为在点连续，所以对上述的，，当时，有 即 于是，对当时，总有 所以复合函数在点处连续． 例4．讨论函数及的连续性． 解 函数可看作由及复合而成，而正弦函数在区间内是连续函数，又函数在内是连续函数，据定理6知复合函数在区间内是连续函数． 函数可看作由及复合而成，而正弦函数在区间内是连续函数，又函数在和内是连续函数，据定理6知复合函数在区间和内是连续函数． 三、初等函数的连续性 指数函数在区间内是连续函数． 证明 对任，，在极限部分已证明极限，所以，故，因此指数函数在点处连续，又由于的任意性，指数函数在内连续． 对数函数在区间内是连续函数． 由指数函数单调性和连续性得到． 3．幂函数（为任何实数）． 幂函数定义域随而变，不过在内总是有定义的，因此幂函数在内是连续的． 因为，函数与都是连续的，由定理6可知幂函数在区间内连续． 4．幂指函数 形如的函数称为幂指函数． 若函数连续，且，则幂指函数连续． 若极限，则． 例5．求极限． 解 结论4 指数函数，对数函数，幂函数在它们的定义域内连续． 5．初等函数连续性 （1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数． （2）一切初等函数在其定义区间内是连续的．（定义区间：包含在定义域内的区间） 说明 由连续性提供了求极限的方法，如果是初等函数，且是函数的定义区间内的点，则有． 例6．求极限． 解 因为是初等函数定义区间内的点，所以 ． 例7． 求极限． 解 ． 例8． 求极限． 解 ， 若，则． 例9．求极限． 解 ， 若，则． 例10．求极限． 解 ． 又同理可得． 从上面两例可得到，，（中变量一样）． 例11．求极限． 解 由于改为连续变量，令，则 ， 又由函数极限与数列极限关系定理，当为自然数时，有 ． 例12．当为何值时，函数在区间上连续． 解 当时，为初等函数，所以是连续函数， 当时，为初等函数, 所以是连续函数， 当时，若使函数在处连续，必有，即， 所以，当时，函数在点处连续，从而在区间上连续． 6．常用的基本极限 （1）设， （为自然数） 则 ， ． （2）． （3）， ， ． （4）． （5） ．