恒成立、能成立、存在数学题.docVIP

恒成立、能成立、恰成立、任意与存在 一、知识归纳： 1．恒成立问题 ①若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 ②若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 2．能成立问题（有解问题、存在性问题） ①若在区间上存在实数x使不等式成立(即在D上有解),则等价于在区间上； ②若在区间上存在实数x使不等式成立（即在D上有解）,则等价于在区间上的. ③对于,有解 3 恰成立问题 ①若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为； ②若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为. 4.任意与存在 设函数的定义域为A,值域为B; 的定义域为C,值域为D ①对任意的都有成立,则. ②对任意的,,均有,则 ③对任意的,存在,均有,则 ④对任意的,存在,均有,则 ⑤存在,,使得，则 ⑥对任意的,存在,使得成立,则 ⑦存在, 对任意的,使得成立,则 ⑧存在, ,使得，则 二、注意点： 1．“恒成立”与“存在”是参数讨论中的两类非常重要的问题，而通过求函数的最值是解决这两类问题的重要方法，在具体解决问题时又有两条基本思路： ①将“参数”与“变量”分离在不等号的两边，然后变量形成的函数的最值； ②“参数”与“变量”不分离，将整个式子看成一个函数，并求它的最值. 2．必须注意，如果在定义区间D上没有最大或最小值，而只有上限或下限，则最后的结果可能要将“＜（＞）”改为“≤（≥）”. 3．在具体的问题中，“恒成立”与“存在”有很多不同的等价形式.如“恒成立”在有些问题中叙述为“对任意…总有……”，“无论…都有…”等等；而“存在”的等价说法有“不等式在D内有解”，“集合? ”等多种形式，注意总结经验. 三、例题 例1．①不等式|x-2|－|x+4|a有解，，则a的取值范围为_____________ ②如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______ ③不等式|x-2|－|x+4|a恒成立，则a的取值范围为_______________. 解题策略：数形结合能将抽象的问题直观化.形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想. 分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围 函数的图象如图，由图象即可得y∈［-6，6］. 所以③a-6 例2.设关于x的不等式在区间上有解，求a的取值范围 答：在上等价于，在区间上有解，则 ＝＝ 所以＝， a的取值范围 例3.已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围. 【解析】 若,则,令,不符题意, 故 当在 [-1,1]上有一个零点时,此时 或 解得或 当在[-1,1]上有两个零点时,则 解得即 综上,实数的取值范围为. (别解:,题意转化为知求的值域,令得转化对号函数问题.) 例4．对，，使， 则的取值范围是 ． 例5.设函数的定义域为D，如果对于任意，存在唯一的，使（c为常数）成立，则称函数在D上均值为c，给出下列五个函数：①，②，③，④，⑤ 满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 作业 1.若使得不等式成立，则实数x的取值范围是 。 2.若使得不等式成立，则实数a的取值范围是 。 3. 若使得不等式成立，则实数x的取值范围是 。 4．已知函数的值域为，函数，，总，使得成立，则实数的取值范围是 。 5．对于函数y=f(x)，x?D，若存在常数c，使对任意x1?D，存在唯一的x2?D，满足，则称函数f(x)在D上的均值为c，现已知函数：① y=2x，② y=x5，③ y=2sinx，④ y=lgx，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是__________（填上所有符合要求的函数的序号）。 6．已知函数，，若存在，使（1，2）为的最小值，为的最大值，则此时数对为 。 7．已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。　 8．若存在，使得不等式成立，则实数x的取值范围是________ 9．存在的取值范围 是 。