二次函数对称轴与区间的关系分析.docxVIP

PAGE PAGE 1 二次函数对称轴与区间的关系分析 （1）轴定，区间定 方法：可以对其二次函数配方处理或者是结合二次函数图形求解， 例1若实数满足，则的最大值是 . 解：由得 问题转化为求，当中的最大值，易的. 设计意图：利用消元思想将问题简化，但是其中必须注意的是消元之后的自变量的取值范围，进而转化为二次函数在闭区间上的最值。 设计意图:结合韦达定理转化成为有关的二次函数，但是其中的隐含条件：二次方程有实根，从而确定的取值范围。 （2）轴定，区间变 方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系： 轴在区间右边 ②轴在区间左边 ③轴在区间内 例2 已知在上的最大、最小值分别为， 求的解析式. 活动：师生一起合作求解函数的最小值的表达式，并作小结，再让学生板书求解函数的最大值的表达式，和下面例题4的最小值的表达式 设计意图:（1）通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性 （2）学生求解例3函数中最大值的表达式中讨论轴在区间内的可能遇到阻碍，讲解过程中启发学生结合函数的图像和性质：如果我们俩个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式 （3）根据物理中动、静（定）的相对原理，那么例题4的轴变区间定的题型可以类比成轴定区间动的这种题型求解，培养学生的发散思维和类比能力 解：对称轴为，分4种情况讨论（另解：最大值可以分2种情况，最小值可以分3种情况）： （1），即时， （2）时， （3），即时， （4），即时， 综上，， （3）轴变，区间定 方法: 与情形2一样. 例4已知在上的最小值为，求的解析式. 解：对称轴，分三种情况讨论 （1）时， （2）时， （3）时， 综上， 例5 设，当时恒有，求的范围. 变式一：若将改为时，其它条件不变，求的范围 变式二：若将改为时，其它条件不变，求的范围 变式三：若将改为时，其它条件不变，求的范围 设计意图：通过讲解例题5和变式一，让学生体会解不等式中的一种转化思想并一起总结归纳：若，通过变式二、三和原题的思考对比让学生体会相似题型的解法的相同点和不同点 分析：恒成立 解：对称轴为，分三种情况讨论 （1） （3） 综上，，即的值域为 （4）轴变，区间变 例6已知，求的最小值。 分析：将代入u中，得 分①、②讨论 解：将代入u中，得 由得 的对称轴为，分两种情况 ①时，即时， ②时，即时， 综上， （5）二次函数的逆向最值问题 例7已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。 分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。 解：（1）令，得 此时抛物线开口向下，对称轴为，且 故不合题意； （2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意； （3）若，得，经检验，符合题意。 综上，或