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极值点偏移的纯偏移型解法 湖北安陆一中伍海军（QQ：597917478 ）整理 什么是极值点偏移 我们知道二次函数 f(x) 的顶点就是极值点 ，若f(x)=c 的两根的 x 0 x x x x 中点为 1 2 ，则刚好有 1 2 = x0 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移； 2 2 x x x 而函数 的极值点 =1 刚好在两根的中点 1 2 的左边，我们称之为极值点左偏. g (x) x x0 e 2 x x x x 按极值点的偏移来分:分为两类：左偏 1 2 x0 ；右偏 1 2 x0 . 2 2 按极值点偏移的处理方法分:分为两类：纯偏移，非纯偏移.纯偏移的处理策略为：构造 函数F (x) f (x) f (2xo x) 或是F (x) f (xo x) f (xo x) . 【例1】已知函数f (x) xe x (x R) .(1)求函数 f(x) 的单调区间和极值；(2) 已知函数 y=g(x) 的图像与函数y=f(x) 的图像关于直线x=1 对称，证明：当x1 时，f(x)g(x);(3)若x1  x2 ， x x x x 且f( )=f( ),证明： + 2. 1 2 1 2 解：（Ⅰ）f’(x ) (1x)ex 令f’(x)=0,解得x=1 当x 变化时，f’(x)，f(x)的变化 情况如下表: X (,1) 1 (1,) f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在(,1)内是增函数，在(1,)内是减函数. 1 函数f(x)在x=1 处取得极大值f(1)且f(1)= e （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) ex 2 ；令 F(x)=f(x)-g(x),即 F (x) xex (x 2)ex 2 ；于是F (x) (x 1)(e2x 2 1)ex ；当 x1 时，2x-20,从而 e2x-2 1 0,又ex 0,所以F ’(x)0,从而函数F （x）在[1,+∞)是增函数. 1 又F(1)=e-1 e-1 0，所以x1时，有F(x)F(1)=0,即f(x)g(x). (Ⅲ)证明： （1）若(x 1)(x 1) 0, 由 （）及f(x ) f(x ), 则x x 1.与x x 矛盾. 1 2