浅谈一个超越不等式在解高考压轴题中应用(PDF版).pdfVIP

浅谈一个超越不等式在求解高考压轴题中的应用 摘 要：本文介绍一个重要的超越不等式，以及它的导出、推广形式，并详 细阐述它们在求解高考压轴题中的重要应用。 关键词：超越不等式；高考；压轴题 一、一个重要超越不等式及其导出、推广形式 （一）基本不等式 x e ≥x+1,x∈R，当且仅当x=0时等号成立。 证明过程如下： f(x)=e-x-1x f′(x)=e-1x f′(x)=0 x=0 x 0 f′(x) 0 设 ，则 ，令 ，得 。且当 ＜ 时， ＜ ； x 0 f′(x) 0 f(x) x=0 f(0)=0 f(x)≥f(0)=0 e≥x+1x 当 ＞ 时， ＞ ，∴ 在 处取得极小值 ，即 ，∴ 成立。 x 该不等式的几何意义如图一所示：函数y=e 所表示的曲线在直线y=x+1的 (0,1) x=0 上方且与该直线相切。切点坐标为 ，即当 时不等式中的等号成立。 （二）基本不等式的变形 x y y=e 上述基本不等式有很多实用 y=x+1 y=x 变形，例如：当x＞-1 时，将不 y=x-1 等式两边取自然对数即得到导出 不等式一： (0,1) y=lnx x≥ln(x+1)，x ∈(-1,+∞) 当且仅当x=0时等号成立。 x O (1,0) x 0 x-1 当 ＞ 时，用 代替上式 x 中的 ，又可得到导出不等式二： x-1≥lnx，x∈(0,+∞)当且 仅当x=1时等号成立。其几何意 义亦如图一所示。 （三）基本不等式的推广 图一 nx x nx y y=me (n0) 推论一：若x∈R ，且e ≥kx+b y=me (n0) y=kx+b