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二次分式函数值域问题的研究 　　函数的值域一直以来都是中学数学教学的重点和难点,它可以考查学生综合运用函数解决问题的能力,因而成为高考中的热点.而求形如y=ax??2+bx+cdx??2+ex+f(dx??2+ex+f≠0)的二次分式函数的值域又是函数值域问题的重要内容.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行研究,用初等数学知识给出解决方法.?? 　　 　　一、方法点拨?? 　　(1)反比例函数:形如y=kx(k≠0),它的图象是双曲线,可以利用它的图象和单调性解决值域问题.?? 　　(2)函数:y=x+ax(a0),它的图象是关于原点对称的双曲线,在区间(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在(-a,0)和(0,a)上单调递减.利用函数单调性,结合函数定义域,就能够解决函数的值域问题.?? 　　(3)函数:y=x-ax(a0),它的图象象“关于原点对称的双曲线”,它在(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调递增,根据定义域不难确定它的值域.?? 　　 　　二、研究应用?? 　　题型一:函数y=ax??2+bx+cdx??2+ex+f的解析式中a=d=0,此时函数退化为一次分式函数.可以采用“部分分式法”,y=bx+cex+f=be+c-bfex+f,将常数分离出来,借助反比例函数求值域方法解决值域问题.?? 　　例1 求函数y=2x+1x-1,x∈\的值域.?? 　　解:y=2x+1x-1=2+3x-1,?? 　　∵x∈\,∴3x-1∈\32,3\〗,解得y∈\72,5\〗.?? 　　说明:这是一个简单的一次分式的值域问题,采用复合函数求值域的方法,一步步得出结论.当然,本题也可用“逆求法”,用y表示x,进而由x的范围解出y的范围,即值域.?? 　　题型二:函数y=ax??2+bx+cdx??2+ex+f的解析式中d=0,则可采用换元法t=ex+f,将函数转化成“双钩”函数或“双曲”函数求值域.?? 　　例2 求函数y=x??2+2x-2x-1,x∈\的值域.?? 　　解:令t=x-1,则x=t+1,y=(t+1)??2+2(t+1)-2t=??t+??1t+4,t∈\,由函数性质知,y=t+1t+4为t∈\上的增函数,解得y∈\132\〗.?? 　　说明:本题中t∈\,函数y=t+1t+4为区间上的单调增函数,容易求出值域.如果t∈\,此时,??t=??0不在定义域内,函数图象在t=0处不连续,那么,函数值域可以结合图象和单调性得出,y∈(-∞,2\〗∪\例3 求函数y=x??2+2x-4x-1的值域.?? 　　解:令t=x-1,则x=t+1,y=(t+1)??2+2(t+1)-4t=t-1t+4,t∈\,由“双曲”函数性质知,y=t-1t+4为t∈\上的增函数,解得y∈\112\〗.?? 　　说明:函数y=t-1t+4在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增,当t∈\时,区间两个端点处的函数值即为函数的最大值和最小值.?? 　　题型三:函数y=ax??2+bx+cdx??2+ex+f的解析式中a=0,则1y=dx??2+ex+fbx+c,即可采用换元法t=bx+c,将函数转化为题型二求解即可.?? 　　例4 求函数y=x-1x??2+2x-2,x∈\的值域.?? 　　解:由例2可知,1y∈\132\〗,再由反比例函数性质,y∈\213,16\〗.?? 　　题型四:函数y=ax??2+bx+cdx??2+ex+f的解析式中ad≠0,则将函数改写成部分分式,y=ad+(b-aed)x+c-afddx??2+ex+f,即可化归为题型三.?? 　　例5 求y=x??2+3x-3x??2+2x-2,x∈\的值域.?? 　　解:y=x??2+3x-3x??2+2x-2=1+x-1x??2+2x-2,由例4知,y∈\1513,76\〗.?? 　　说明:二次分式函数中分子分母的一次项和常数项系数也可能为零,而且类型较多,除了上面的四种类型外,还有不少都可以用更加简便的方法解决,在思考问题时,注重化归思想的运用,借助与二次函数和反比例函数的复合函数解决值域问题.?? 　　例6 求y=1x??2+2x-2,x∈\的值域?? 　　解:∵x∈\,∴x??2+2x-2∈\,由反比例函数单调性可得y∈\113,16\〗.?? 　　说明:这是分子为常数的二次分式,而分母为一元二次函数,容易求出值域,问题就化归为二次函数与反比例函数的复合函数值域问题.?? 　　 　　三、实战高考?? 　　下面我们通过2010年的两个高考题,来研究二次分式函数值域问题的形成过程和解决问题的思路.?? 　　例7 (2010江苏卷第14题)将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,