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加强变式教学 培养思维能力 变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要形式，它是借鉴科学家发明创造的思维方法，通过对数学问题进行多角度，多方面的变式探索研究，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变 ”的本质中探索 “变”的 规律，变式教学不仅能增强学生的创新意识和应变能力，而且能优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力和素质，下面举例说明： 例1．过抛物线焦点的一条直线与它交于P、Q两点，经过点P和抛物线顶点的直线交准线L于M、N, 求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴（《数学》第二册（上）P123 习题6） 通过对题目的感知、理解、解答之后,出示下面两个变式题. 变式1: 经过抛物线C: y2=2px (p?0)焦点F的直线,与抛物线C交于P,Q两点,过点Q作直线MQ与C的对称轴平行,且与C的准线交于点M,问直线MP是否经过抛物线C的顶点O. 变式2: 点Q是抛物线C:y2=2px(p?0)上一点, 直线MQ与C的对称轴平行,且与C的准线交于M点,直线MQ交抛物线于点P, 问直线PQ是否过抛物线的焦点F. 变式1与2001年全国高考试题第19题类似,变式2与变式1的解法相似,不再赘述. 例2. 直线y=x-2 与抛物线y2=2x交于A、B两点 (《数学》第二册(上) P130, 例2) 变式1: A、B是抛物线C: y2=2x上两点,且OA?OB, 问直线AB的方程是y=x-2吗? 解: 设A(x1, y1), B(x2, y2) (1). 当直线AB的斜率不存在时, AB?x轴, 由y12=2x1, y1=x1, 得x1=2, ∴直线AB的方程为x=2. (2). 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-m)(k?0). 由 , 得 ① 又∵OA?OB, ∴0 即x1x2+y1y2=0 = 2 \* GB3 ② 由y12=2x1, y22=2x2 得x1x2= =m2 = 3 \* GB3 ③ 将 = 1 \* GB3 ①、 = 3 \* GB3 ③式代入 = 2 \* GB3 ② 式, 得m=2. ∴直线AB的方程是y=k(x-2) 综合(1), (2), 直线AB是过顶点(2,0) 的直线系, 并不是y=x-2. 变式2: 直线y=x-2 与抛物线y2=2px(p ?0) 交于A、B两点, 若OA?OB, p值等于1吗? 解法与变式1的解法类似,答案是p=1. 例3: 已知圆的方程是x2+y2=r2. 求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程. 变式1: 已知M(x0, y0)是x2+y2=r2 内异于圆心的一点, 则直线x0x+y0y=r与圆的交点个数是多少? 学生只须利用直线与圆的位置关系的判断方法, 即可得公共点的个数是0, 但实际情况并不如此. 相当多的学生受原题的影响, 一看到直线的方程 “ x0x+y0y=r2 ”形式, 就想到直线与圆相切, 于是就填1, 也有不少学生一看到M(x0, y0) 在圆x2+y2=r2 内，便以为直线过圆内一点，断定直线与圆必相交，于是填2. 为了澄清学生的模糊认识, 在审题中不被 “形” 所迷惑, 能透过 “形” 的表面, 察看 “形” 的本质, 让学生自己发现错误, 寻找错因, 自惊奇中醒悟, 教师因势利导, 进行变式引导. 复习回顾: 已知圆C的方程是x2+y2=r2, M(x0, y0)是一定点. 结论1: 当点M(x0, y0) 在圆C上时, 直线x0x+y0y=r2为圆C在点M处的切线. 变式2: 当点M(x0, y0) 在圆C外时, 直线x0x+y0y=r2的几何意义是什么? 引导学生探索: 过点M可作圆C的两条切线P1M, P2M, 设切点为P1(x1,y1), P2(x2, y2), 由结论1得切线P1M的 方程为x1x+y1y=r2, 切线P2M的方程为x2x+y2y＝r2 因为点M在直线P1M，P2M上，所以x1x0+y1y0=r2, x2x+y2y=r2由此可知, 点P1, P2在直线x0x+y0y=r2上, 而过两点的直线只有一条, 所以x0x+y0y=r2为弦P1P2所在的直线方程, 于是得到： 结论2. 当M在圆C外时, 过M可作圆C的两条切线, 设切点为P1, P2, 则弦P1P2所在的方程为x0x+y0y=r2 运用变式教学不仅能使学生对所学内容与练习保持浓厚的兴趣,而且还创设了学生共同参与的情境, 体验灵活运用知识与技能解决问题的乐趣, 从而促进思维能力的培养. 例4: 解不等式 ︱x2+3x-8︱?10 ( 《数学》第二册(上)P32 第12（2）小题 变式1: 解不等式 ︱x2-3x