2013年湖南卷数学试题及答案(理).docVIP

2013·湖南卷(理科数学) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1． 复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．B　[解析] 由题z＝i·(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，在复平面上对应的点坐标为(－1，1)，即位于第二象限，选B. 2． 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　) A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 2．D　[解析] 根据抽样方法的特点可知，应选用分层抽样法． 3． 在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝eq \r(3)b，则角A等于(　　) A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3) 3．D　[解析] 由正弦定理可得2sin Asin B＝eq \r(3)sin B，又sin B≠0，所以可得sin A＝eq \f(\r(3),2)，又A为锐角，故A＝eq \f(π,3)，选D. 4． 若变量x，y满足结束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤2x，,x＋y≤1，,y≥－1，))则x＋2y的最大值是(　　) A．－eq \f(5,2) B．0 C.eq \f(5,3) D.eq \f(5,2) 4．C　[解析] 根据题意，画出x，y满足的可行域，如图， 可知在点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))处x＋2y取最大值为eq \f(5,3). 5．， 函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 5．B　[解析] 法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图： 可知，其交点个数为2，选B. 法二：也可以采用数值法： x 1 2 4 f(x)＝2ln x 0 2ln 2＝ln 41 ln 425 g(x)＝x2－4x＋5 2 1 5 可知它们有2个交点，选B. 6． 已知，是单位向量，＝0，若向量满足|－－|＝1，则||的取值范围是(　　) A．[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1] B．[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋2] C．[1，eq \r(2)＋1] D．1，eq \r(2)＋2 6．A　[解析] 由题可知·＝0，则⊥，又||＝||＝1，且|－－|＝1，不妨令＝(x，y)，＝(1，0)，＝(0，1)，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，又||＝eq \r(x2＋y2)，故根据几何关系可知||max＝eq \r(12＋12)＋1＝1＋eq \r(2)，||min＝eq \r(12＋12)－1＝eq \r(2)－1，故选A. 7． 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(　　) A．1 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2)－1,2) D.eq \f(\r(2)＋1,2) 7．C　[解析] 由题可知，该正方体的俯视图恰好是正方形，则正视图最大值应是正方体的对角面，最小值为正方形，故面积范围为[1，eq \r(2)]，因eq \f(\r(2)－1,2)?[1，eq \r(2)]，故选C. 8． 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　) 图1－1 A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3) 8．D　[解析] 不妨设AP＝m(0≤m≤4)，建立坐标系，设AB为x轴，AC为y轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(xQ，yQ)，R(0，yR)，P(m，0)，可知△ABC的重心为Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，根据反射性质，可知P关于y轴的对称点P1(－m，0)在直线QR上，P关于x＋y＝4的对称点P2(4，4－m)在直线RQ上，则QR的方程为eq \f(y－0,4－m)＝eq \f(x＋m,4＋m)，将Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))代入可得3m2－4m＝0，即m＝eq \f(4,3)或m＝0(舍)，选D. 9． 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,