抛物线与几何图形.docVIP

PAGE PAGE 5 抛物线与几何图形 一、抛物线与三角形 例1.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y＝x2－2ax+b2交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是(a+c，0).（1）求证：△ABC是直角三角形.（2）若S△MNP＝3S△NOP，①求cosC的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由. 析:（1）因为抛物线y＝x2－2ax+b2经过点M(a+c，0)，所以(a+c)2－2a(a+c)+b2＝0，即a2＝b2+c2.由勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形 （2）①如图1所示，∵S△MNP＝3S△NOP，∴MN＝3ON，即MO＝4ON，又M(a+c，0)，∴N， ∴a+c，是方程x2－2ax+b2＝0的两根，此时两个为x1，2＝＝a± ∴a+c+＝2a，∴c＝a.由（1）知：在中，∠A＝90°，由勾股定理得b＝a，∴cosC＝＝. ②能.由（1）知y＝x2－2ax+b2＝x2－2ax+a2－c2＝(x－a)2－c2，∴顶点D(a，－c2).过D作DE⊥x轴于点E， 则NE＝EM，DN＝DM，要使△MND为等腰直角三角形，只须ED＝MN＝EM. ∵M(a+c，0)，D(a，－c2)， ∴DE＝c2，EM＝c，图2A∴c2＝c，又c＞0，∴c＝1. ∵c＝a，b＝a，∴a＝，b＝.∴当a＝，b＝，c＝1时，△MND为等腰直角三角形. 图2 A 图1图3 图1 图3 说明　本题是一道探索题，是近年来中考命题的热点问题，在第（2）小题中要求同学们先猜想可能的结论，再进行证明，这对同学们的确有较高的能力要求，而在探索结论前可以自己先画几个草图，做到心中有数再去努力求证.总之这是一道新课标形势下的优秀压轴题. 二、抛物线与平行四边形 例2 如图2，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由. 析（1）令y＝0，解得x1＝－1，或x2＝3，所以A(－1，0)，B(3，0)；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2－2x－3得y＝－3，所以C(2，－3).所以直线AC的函数解析式是y＝－x－1. （2）设P点的横坐标为x(－1≤x≤2)，则P、E的坐标分别为：P(x，－x－1)，E(x，x2－2x－3).因为P点在E点的上方，PE＝(－x－1)－(x2－2x－3)＝－x2+x+2，所以当x＝时，PE的最大值＝. （3）存在4个这样的点F，分别是F1(1，0)，F2 (－3，0)，F3(4+，0)，F4(4－，0). 说明　本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计这几年仍会保持这一趋势.在本题中，第1小题较简单，第2小题则需同学们仔细观察图形，做出准确求解，第3小题对同学们的探究能力的要求更高一些，但由于解法直观，入题的通道较宽，因此难度并非十分大. 三、抛物线与矩形 例3如图3，已知抛物线P：y＝ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x … －3 －2 1 2 … y … － －4 － 0 … （1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：（2）若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积. 简析（1）由抛物线P过点(1，－)，(－3，)可知，抛物线P的对称轴方程为x＝－1，又抛物线P过(2，0)、(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4) . （2）由题意，＝，而AO＝2，OC＝4，AD＝2－m，故DG＝4－2m，又＝，EF＝DG， 得BE＝4－2m，所以DE＝3m，所以SDEFG