线代基本复习题.docVIP

2010年度第二学期《线性代数》期末考试安排 预计考试时间：2011年5月7日 考场 班级 课室容量 期末答疑安排 答疑时间：2011.04.27 答疑地点: 平时上课的课 若干公式 |A*|=|A|n-1, A*A=| A|I，|AT|=|A|，|?A|=?n|A|，?(A)的特征值?(?) 基本问题 Ch1计算行列式, 求逆矩阵 Ch2判断线性相关性, 求秩, 求最大无关组 Ch2解线性方程组(齐次的和非齐次的) Ch3求矩阵（方阵）特征值和特征向量 Ch3矩阵的对角化 Ch4向量组的正交化 Ch4二次型的正交标准化 Ch4二次型正定性的判断 Ch1计算行列式 1.12 （P35）计算下列行列式 (2) 求逆矩阵 1.7（P34）利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵: (1) Ch2判断线性相关性 2.1 （P63）讨论下列向量组的线性相关性 (3) Ch2求秩, 求最大无关组 2.2 （P63）求下列矩阵的秩 (3) 补充: 最大无关组有 Ch2解线性方程组(齐次的) 2.3 求解下列齐次线性方程组 (1) ; (1) 对方程组的系数矩阵作行初等变换 得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF). 对应的同解方程组为 , 方程组的解为 . Ch2解线性方程组(非齐次的) 2.5 求下列非齐次线性方程组的通解 (1) 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形 立刻得到方程组的解 Ch3求特征值和特征向量 3.1（P80）求下列矩阵的特征值和特征向量 (3) (3)解特征方程 得特征值. 对于特征值, 解齐次线性方程组. 其系数矩阵 , 可见特征向量为. 对于特征值, . 可见特征向量为(不全为0). Ch3矩阵的对角化 3.10将下列矩阵对角化, 并求, 使(为对角阵) (1) 解特征方程 得特征值. 对于,, 得特征向量. 选. 对于,, 得特征向量 (k2, k3不全为0). 选.. 令, 则有. Ch4向量组的正交化 4.5（P107）设试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化. 正交化: 单位化: Ch4二次型的正交标准化 4.20（P108） 用正交变换化下列二次型为标准形 (2) 二次型的矩阵为. 解特征方程 , 得的特征值,,. 对于特征值, , 取特征向量. 对于特征值, . 取特征向量. 对于特征值, . 取特征向量. 是正交的. 令 , 则是正交的. 作正交变换, 则给出的二次型化为标准形 . Ch4二次型正定性的判断 4.23判别下列二次型的正定性: (1) (2) (1)二次型的矩阵的各阶主子式依次为 . 故二次型是负定的. (2) 二次型的矩阵的各阶主子式依次为 . 故二次型是正定的. 若干联系 向量组构成矩阵 线性组合 向量能由向量组线性表示?有解? 向量组线性相关?有非零解?(=向量个数=未知数个数) 基础解系含个解向量. 部分定理 定理2.1　若线性无关, 而线性相关. 则可以由线性表示. 定理2.2　()线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合. 定理2.3 线性相关的向量组添加向量后仍线性相关；线性无关的向量组的子向量组必线性无关；线性无关的向量组中的每个向量扩大同样的维数，得到的新向量组仍然线性无关。 定理2.4　m个行向量线性相关的充要条件是 定理2.5　矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，但任意r+１个行向量（如果存在）都线性相关。 定理2.8 设有向量组T，如果 (1)在T中有r个向量线性无关。 (2)T中任意一个向量都可以由向量组线性表示。 则是向量组T的一个最大无关组。 引理2.1设向量组可由向量组线性表示.如果,则线性相关. 定理2.9　齐次线性方程组（2.11），当其系数矩阵的秩时，只有唯一的零解；当时，有无穷多个解。 定理2.11　非齐次线性方程组（2.17）有解的充要条件是，他的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。 定理2.12　设是齐次线性方程组（2.11）的一个基础解系，是相应的非齐次线性方程组（2.17）的一个特解，则（2.17）通解为： 基础解系含有n-r个解向量。 定理3.1 阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。 定理3.2 设阶方阵A 有互不相同的特征值，(λiE – A)χ= 0的基础解系为。 则 ；；……；线性无关。 定理3.3 设n阶方阵A = ( a ij ) 的特征值为λ1 ,λ2 ,… ，λn ，则有 （1）λ1 +λ2 + … +λn = a11 + a22 + … + an n (4.9) (2) λ1λ2 …λn = | A|