自相关函数与互相关函数-不错的材料.docxVIP

?? 2.4.3 相关函数 １．自相关函数　　　　 自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为　　　　　　　　　　　　（2.4.6）　　 对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算　　　　　　　　　　　　　　（2.4.7）　　自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。　　 例如信号的自相关函数为　　　　　　　　　　　　　　　　　 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即，则　　　　　　　　对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为　　　　　　　　　　 由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。　　 自相关函数具有如下主要性质：　 （1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。　 （2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即 　　　　　　　　　　　　　　（2.4.8）　 （3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。　 （4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　（2.4.9）　　　 实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2.4.10）当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相关性的强弱。　　自相关函数的性质可用图2.4.3表示。　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　图2.4.3 　自相关函数的性质 　　常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括：　 （1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。 ? 时间历程 自相关函数图形 正弦波 正弦波加随机噪声 窄带随机噪声 宽带随机噪声 　　　　　　　　　　图2.4.4　　 四种典型信号的自相关函数 　　（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。图2.4.5所示为噪声对相关函数的影响。 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　图 2.4.5　噪声对相关函数的影响 　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．互相关函数　　随机信号x(t)和y(t)的互相关函数定义为　　　　　　　　　　　　(2.4.11)　　互相关函数具有如下性质：　 （1）互相关函数不是偶函数，是不对称的。　　图2.4.6为两个随机信号x(t)和y(t)及其互相关函数图形，其峰值偏离了原点的位置反映了两信号的时差。例如在位置达到最大值，则说明y(t)导前时间x(t)与y(t)最相似。　　　　 ? ? ? ? ? ? ? 　（2），即x(t)与y(t)互换后，它们的互相关函数对称于纵轴（图2.4.7），说明使信号y(t)在时间上导前与使另一信号x(t)滞后，其结果是一样的。　　 　（3）若两个随机信号x(t)和y(t)没有同频率周期成分，是两个完全独立的信号，则当 时有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2.4.12)　 （4）频率相同的两个周期信号的互相关函数仍是周期信号，其周期与原信号相同。例如两个周期信号为和，则其互相关函数为　　　　　　　　　　　　　　(2.4.13)　　用互相关系数表示互相关程度，即　　　　　　　　　　　　　　　　　(2.4.14)　　互相关系数反映了两个随机信号之间的相关性，且。若x(t)和y(t)之间没有同频率的周期成分，那么当τ很大时就彼此无关，即。　 　　　　　　　　　　　　　微弱信号的检测 　　 互相关函数的这些性质，使得它在检测技术中具有广泛的应用。最常见的应用有以下几种：　　　　　　　 　（1）确定时间