求圆锥曲线的离心率的常用方法.docVIP

求圆锥曲线的离心率的常用方法 一、根据条件先求出a，c，利用e=eq \f(c,a)求解 例1 若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( ) A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4) 解析：由F1、F2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1, 所以离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2).故选C. 例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A. eq \f(eq \r(3),2) B. eq \f(eq \r(6),2) C. eq \f(3,2) D2 解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=eq \f(c,a)=eq \f(3,2),因此选C 二、构建关于a，c的齐次等式求解 例3 设双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(0ab)的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为eq \f(eq \r(3),4)c，则双曲线的离心率为( ) A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(2eq \r(3),3) 解析：由已知，直线L的方程为bx+ay -ab=0. 由点到直线的距离公式，得 eq \f(ab,eq \r(a2+b2))＝eq \f(eq \r(3),4)c，又c2=a2+b2, ∴4ab=eq \r(3)c2, 两边平方，得16a2(c2﹣a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0. 解得 e2＝4或e2＝eq \f(4,3).又0ab ，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2+b2,a2)=1+eq \f(b2,a2)2，∴e2＝4，∴e＝2.故选A. 例4 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ） 图2 （A）eq \r(3) （B）eq \f(eq \r(6),2) （C）eq \f(eq \r(6),3) （D）eq \f(eq \r(3),3) 图2 解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F1(-c,0), F2(c,0),则 |MF1|=|MF2|=eq \r(c2+b2).又|F1F2|＝2c， 在△F1MF2中， 由余弦定理，得cos∠F1MF2＝eq \f(|MF1|2+|MF2|2﹣|F1F2|2,2|MF1|·|MF2|), 即eq \f((c2+b2)+(c2+b2)﹣4c2,2eq \r(c2+b2)·eq \r(c2+b2)))＝cos120°＝﹣eq \f(1,2)，∴eq \f(b2﹣c2,b2＋c2)＝﹣eq \f(1,2)， ∵b2＝c2﹣a2，∴eq \f(﹣a2,2c2﹣a2)＝﹣eq \f(1,2)，∴3a2＝2c2，∴e2＝eq \f(3,2)，∴e＝eq \f(eq \r(6),2).故选B. 例5 双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(3,2) 解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，∴a=b，∴c=eq \r(2)a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).故选C. 三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e的取值范围 例6 设θ∈(0，eq \f(p,4))，则二次曲线x2cotθ﹣y2tanθ=1的离心率的取值范围为( ) A.(0，eq \f(1,2)) B.(eq \f(1,2)，eq \f(eq \r(2),2)) C.(eq \f(eq \r(2),2)，eq \r(2)) D.(eq \r(2)，+∞) 解析：由x2cotθ﹣y2tanθ=1，θ∈(0，eq \f(p,4))，得a2＝tanθ，b2= cotθ,∴c2＝a2+b2＝tanθ+ cotθ, ∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(tanθ+ cotθ,tanθ)＝