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二次成本函数模型及其的运用 　　摘要：二次成本函数模型在经济学、管理学中广泛应用，但多数使用时都只是直接给予结果x=（A/B）1/2，没有列出求解的推导过程。为此本文从数学角度并结合经济含义，证明一元二次成本函数x的最优解模型，并说明其具体运用。 　　关键词：二次成本函数；模型；运用 　　产品成本是指企业为生产和销售一定种类和数量的产品所支出的各种生产费用总和，它反映企业再生产过程中的投入量，并影响生产量的变化。成本与产量客观上存在着函数关系：y=f（x）。人们通常把这种函数关系称为成本函数。为了掌握和分析成本与产量变化的规律，使成本与产量达到最优配合，降低成本，提高经济效益，人们又常把成本按其性态分为固定成本、变动成本、半固定成本和半变动成本，而半固定成本和半变动成本又可以通过一定的方法分解成为“固定”和“变动”两部分，因此，全部成本最终可以归结为固定成本（a）和变动成本（bx）。我国管理会计上一般都把成本与产量的关系用一元一次方程式（即直线方程式）表示：y=a+bx。但事实上，在实际生产过程中，当某些因素发生变动（如生产量超过一定的相关范围），固定成本总额要发生增减，单位变动成本也要发生变动。根据经典生产函数的生产成本表明，当生产量超过一定的相关范围时，单位固定成本（a/x）和单位变动成本（b）都逐渐上升，使总成本成非直线变化。因此，在生产过程中，成本函数除有线性函数外，还存在二次、三次或指数型函数。本文仅就二次成本函数的数学模型及其运用作些探讨。 　　一、二次成本函数的数学模型 　　从财会管理角度来看，一元二次成本函数在工业企业中主要有三种情况产生： 　　1.追加生产量超过一定相关范围时（即由原来的限度生产量X0追加到X），固定成本总额增加a′，单位变动成本也随产量每增加m%而上升n%，这样产量（X）与单位成本（Y）就存在一元二次函数关系： 　　y=+1+÷m%×n%（1） 　　2.确定经济生产批量。在生产任务一定下，分批量组织生产时，使总成本达到最低的生产批量，就称为经济生产批量。在一定时期内，企业生产量（X0）一定，每批生产准备费用（a），单位产品储存费用（b），试确定投产批量（x）为多少时，产品单位成本（y）最低。这就需要建立一元二次成本函数。由于产品入库是完工后一次进行，而出库是根据销售等情况陆续进行，因而库存经常占用的产成品只能用平均数，通常是假设为生产量的一半，即x/2。这样，就可以建立单位成本的一元二次成本函数如下： 　　y=×a+×b（2） 　　3.确定经济采购批量。经济采购批量是指可使企业在存货上所花费用最低的每次采购量。企业在需要采购的原材料等存货一定时（x0），每次采购量（x）所需的采购成本（a），单位存货的仓储保管等费用（b），且采购的物料平均库存量为x/2，则单位成本函数为： 　　y=×a+×b（3） 　　上述三种表达式的地元二次函数，可以用一般表达式反映： 　　Y=A/ x+Bx+C（4） 　　从纯数学角度上讲，⑷式为一次有理分式函数，但业务量x0。⑷式可以整理为二次函数式：yx=A+Bx2+Cx。建立二次成本函数的目的在于：通过解方程式求业务量x的值，使成本y达到最低。由于各种不同情况下建立的二次成本函数关系式构成因素不同，按数学程序逐步求解十分麻烦，就有必要预先求出x解的简便实用模式。但是，在一般的管理会计和技术经济教材中，都只是直接给予结果x=（A/B）1/2，没有列出求解的推导过程，这对教学和实际运用都带来盲然：只知其然，不知其所以然。马克思曾经指出：“一种科学，只有成功地应用数学时，才算达到成功的地步。”现从数学角度并结合经济含义，证明一元二次成本函数x的最优解如下： 　　证明一：根据抛物线性质证明。 　　∵ x0，将⑷式两边同乘以x后移项得： 　　Bx2-（y-C）x+A=0 　　配方并整理得： 　　x-2=（y-c）2-（5） 　　（5）式属于“（x-h）2=2p（y-k）”型抛物线方程，这类抛物线的性质是开口向上，顶点坐标（h，k），即x=h时，y的最小值为k。根据这一性质，⑸式中B0，当 x=（y-C）÷2B时，y有极小值，代入（4）式得： 　　y=++c 　　化简得：y=2+c 　　x=== 　　也就是说，当x=（A/B）1/2时，Y有极小值2（A/B）1/2+C 　　证明二：根据不等式的性质证明。 　　∵ x0，B0 　　∴ （5）式左边≥0，则右边也必然≥0，即 　　[（y-C）2-4AB]÷4B2≥0 　　（y-C）2≥4AB 　　又∵ y0 　　∴ y≥2（AB）1/2+C 　　只要y取最小值，就有y=2（AB）1/2+C 。 　　把y=2（AB）1/2+C代入（4）式，有： 　　2（AB）1/2