《一元二次方程的根与系数的关系》参考课件.ppt

课本16页练习四道 21.2.4 一元二次方程的根与系数 的关系 方程 x1 x2 x1+ x2 x1 x2 x2-2x=0 x2-3x-4=0 x2-5x+6=0 填表 问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。 根与系数关系 如果关于x的方程 的两根是 , ,则: 如果方程二次项系数不为1呢? 一元二次方程根与系数关系的证明： x1 + x2 = + = = - x1 x2 = ● = = = 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1 + x2 = x1 x2= - （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。 例4、根据一元二次方程的根与系数的 关系，求下列方程的x1 ，x2的和与积 (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求： (1) (2) x12+x22 解： 由题意可知x1+x2= - , x1 · x2=-3 (1) = = = (2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22 ＝(x1＋x2)2 -2x1x2 ＝(- )2 -2×(-3)＝6 变式 练习：设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。 （2） （1） （３）（x1- x2）2 例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得x1●2＝3k 即 2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。 例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解二： 设方程的另一个根为x1. 由根与系数的关系，得 x1 ＋2= k+1 x1 ●2= 3k 解这方程组，得 x1 =－3 k =－2 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。 1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。 解：设方程的另一个根为x1, 则x1+1= , ∴ x1= , 又x1●1= , ∴ m= 3x1 = 16 解： 由根与系数的关系，得 x1+x2= -2 , x1 · x2= ∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1= 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。 解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2= ∴ 解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。 2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。 解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由x12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0 归纳小结： 通过本节课的学习你学到了那些知识？ 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。