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北京大学2016年优秀中学生数学金秋营试题
北京大学2016 年优秀中学生数学金秋营
2016 10 14 14:00-17 30
∠ + ∠
1. 在△ 内部有一点 满足∠ = ∠ = , 在 上且 平分∠ ,
4
延长 交△ 的外接圆于. 证明: 平分∠.
2. 对于{1, 2, ⋯ , 2} 的一个排列{ , , ⋯ , , , , ⋯ , } 定义函数( , , ⋯ , , , , ⋯ , ) =
1 2 1 2 1 2 1 2
−1
| − |
∑ +1 +1
=1
求所有的排列中, ( , , ⋯ , , , , ⋯ , ) 的最小值.
1 2 1 2
3. 求所有正整数, , 满足对任意实数, , 0 ≤ ≤ 1. 存在正整数, 使得 {2 + + } ∈
(, ) 成立.
4. 设 为奇素数, ≡ 1(mod4). 正整数 , 满足 2 − 2 = 1. 设 也为奇素数, (, ) = 1.
考虑同余方程4 − 22 + 1 ≡ 0(mod). 证明下述 3 个论述等价:
(1) 为摸 的二次剩余;
(2) 同余方程存在一个解;
(3) 同余方程存在四个互不相同的解.
2016 10 15 09:00-12 00
4
5. 设函数() =
, 且 ∈ [−1, 1] 时 |()| ≤ 1. 求 | | 的最大可能值.
∑ 2
=0
6. 一个班里有 50 人, 互相之间发短信, 若三个人 , , 之间, 仅有 给 发过短信, 给
发过短信, 给 发过短信, 则称, , 三个人构成一个“循环”, 试求这50 人中“循环”个
数的最大可能值.
7. 试求所有正整数, 使得对任意正整数, 都存在正整数, 使得 + 2016 是一个正整数的
次方.
8. 对 (0, 1) 中的实数称其中两个为相邻的, 如果这个两个数的十进制表示中只有一位不同, 是否
可以将 (0, 1) 中的实数10 染色, 使得任意两个相邻的数颜色都不相同?
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