第2讲---解三角形应用举例.docVIP

第2讲 解三角形应用举例 ★ 知 识 梳理 ★ 1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b． 2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角． 3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． 4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C． 5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度. 6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、OE是视线，是仰角， 是俯角.  7.关于三角形面积问题 ①=aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； ②＝absinC＝bcsinA＝acsinB； ③＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径） ④＝； ★ 重 难 点 突 破 ★ 1、测量问题 如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两个测量点，现测得，，， ，，求两景点与的距离（假设在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：） 解：在△ABD中，设BD=x， 则， 即整理得： 解之： ，（舍去）， 由正弦定理，得： , ∴≈11(km). 答：两景点与的距离约为11.km. 巩固练习：如图所示，为了测河的宽度，在岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。 图1A 图1 A B C D 2、遇险问题 西北南东AB 西 北 南 东 A B C 30° 15° 图2 巩固练习：1. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，求B城市处于危险区内的时间？ 　 3、追击问题 例3 、甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？ ABDC解: A B D C 此时,甲、乙两船相距最近 图3ABC北45°15° 图3 A B C 北 45° 15° 课后练习： 一、选择题 1．在△ABC中，a2＝b2＋c2－bc，则角A为(　　) A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) 2．在△ABC，下列关系一定成立的是(　　) A．a＜bsin A B．a＝bsin A C．a＞bsin A D．a≥bsin A 3．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝eq \r(6)，cos A＝eq \f(7,8)，则△ABC的面积等于(　　) A.eq \f(\r(15),2) B.eq \r(15) C．2 D．3 4．三角形两边长之差为2，其夹角的余弦值为eq \f(3,5)，面积为14，那么这个三角形的两边长分别是(　　) A．3和5 B．4和6 C．6和8 D．5和7 5．某次测量中，若A在B的南偏东40°，则B在A的(　　) A．北偏西40°　　　　　　　　 B．北偏东50° C．北偏西50° D．南偏西50° 6．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为(　　) A．10 km B．10eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km 填空题 7．在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m. 8. 一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为________米． 9.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km． 解答题 东北南西A 东 北 南 西 A B C 2、 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角