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第一章 空间解析几何与向量代数 内容提要 PAGE PAGE 1 第六章 空间解析几何与向量代数 本章的主要内容是向量和空间图形的方程表示．要求熟练掌握向量的各种运算并理解其几何意义；熟练掌握常用的曲面方程．这些内容都是学习多元微积分的前提．在学习的过程中，读者应多做一些画图练习，以培养自己的空间想象力． 一、向量代数 1．具有大小和方向的量称为向量，只有大小的量称为数量（实数）．向量可以用有向线段来表示． 2．向量的长度称为向量的模，记为；模为1的向量称为单位向量；长度为零的向量称为零向量，记为．两个向量的夹角，规定． 3．与x、y、z三个坐标轴同方向的单位向量分别记为 、、，称为基本单位向量． 4．非零向量分别与x、y、z三个坐标轴正向的夹角称为的方向角； 称为的方向余弦． 5．若分别在x、y、z三个坐标轴上的投影为，则，记为，称为向量的坐标；对于给定的点、，则 ． 6．向量的线性运算 给定向量、及数量，可定义向量的加法及数量乘法 ，统称为向量的线性运算，满足运算律： 1）加法交换律 ； 2）加法结合律 ； 3）数量乘法结合律 ，其中与是数量； 4）数量乘法对于数量加法的分配律 ； 5）数量乘法对于向量加法的分配律 ． 7．向量的数量积 给定向量与，它们的数量积定义为 ，其中 是与的夹角． 数量积满足下列运算律： 1）交换律 ； 2）结合律 ，其中是数量； 3）分配律 ； 8．向量的向量积 给定两个向量和，它们的向量积定义为一个向量，记为，满足： i），其中是与的夹角； ii）的方向垂直于与所在的平面，并且与、 符合右手法则． 向量积满足下列运算律： 1）反交换律 ； 2）结合律 ，其中是数量 ； 3） 左分配律 ， 右分配律 ． 9．向量及其坐标的有关公式 给定向量及数量，则 1），； 2），其中是两个向量的夹角．于是可推知 ． 3） 4）与平行的充要条件是它们对应的坐标成比例 ． 5）与 垂直的充分必要条件是，即 ． 6）若，则称为单位化向量，它表示与同方向的单位向量．并有．此时 ， 其中 是的方向余弦． 二．空间中的曲面与曲线 1．给定曲面S及三元方程．如果曲面S上的点的坐标都满足方程；反之，方程的解所对应的点都在S上，则称S为方程所表示的曲面． 两个方程 和表示同一个曲面的充分必要条件是它们为同解方程． 2．空间中的曲线C可以看作两个曲面的交线，它的一般方程为 ． 空间曲线C也可表示为参数方程 ，． 3．旋转面方程 一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线L旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面（旋转面）．曲线C称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的旋转轴． yoz平面上的曲线C： 绕z轴的旋转面方程为；绕y轴的旋转面方程为．类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面方程． 4．柱面方程 平行于定直线L并沿定曲线移动的直线 所生成的曲面称为柱面，动直线在移动中的每一个位置称为柱面的母线，曲线称为柱面的准线． 以xoy平面上的曲线C ：为准线，母线平行于z轴的柱面方程为．同理方程和分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面． 5．曲线在坐标面上的投影 在空间曲线的方程 中，经过同解变形分别消去变量，则可得到在yoz、xoz、xoy平面上的投影曲线，分别为：； ； ． 三、空间中的平面与直线方程 1．平面方程 1）点法式：给定空间中的点及非零向量，则经过点与垂直的平面方程为 ， 称为平面的法向量． 2）一般式： ，其中不全为零． 3）截距式：． 4）两个平面之间的关系 设两个平面Π1与Π2的法向量依次为和．Π1与Π2的夹角规定为它们法向量的夹角（取锐角）．这时 ． 两个平面平行的充要条件是： ； 两个平面垂直的充要条件是： ． 2．直线方程 1）一般式： 将直线表示为两个平面的交线 ． 2）若直线经过点且与方向向量平行，则的方程为 i) 对称式： ． ii) 参数式： ， ． 3）两条直线之间的关系 设两条直线 L1 和 L2方向向量分别为 ，L1 与 L2 的夹角规定为它们方向向量的夹角（取锐角）．于是 ． L1 与 L2 平行的充要条件是 ． L1 与 L2 垂直的充要条件是 ． 3．直线与平面的关系 设直线L 的方向向量为，平面 Π 的法向量为．L与Π的夹角规定为L与它在Π上投影直线的夹角（锐角）．这时 ． L 与 Π 垂直的充要条件是 ． L 与 Π 平行的充要条件是 ． 四、二次曲面 xzyO