数学——抽象函数习题精选精讲.doc.docVIP

习题精选精讲 含有函数记号“”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ,求. 解：设,则∴∴ 2.凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知，求 解：∵又∵ ∴，(||≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知二次实函数，且+2+4,求. 解:设=，则 =比较系数得∴ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知=为奇函数,当 0时,,求 解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求0时的表达式。∵-0,∴, ∵为奇函数，∴∴当0时∴ 例5．一已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,. 解：∵为偶函数，为奇函数，∴,, 不妨用-代换+= ………①中的, ∴即－……② 显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出 5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式 例6：设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求 解：∵的定义域为N，取=1,则有 ∵=1,∴=+2,…… 以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴ 二、利用函数性质，解的有关问题 1.判断函数的奇偶性： 例7 已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。 证明：令=0, 则已知等式变为……① 在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。 2.确定参数的取值范围 例8：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。 解：由得，∵为函数，∴ 又∵在（-1，1）内递减，∴ 3.解不定式的有关题目 例9：如果=对任意的有,比较的大小 解：对任意有∴=2为抛物线=的对称轴 又∵其开口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，为增函数 ∴(3)(4),∴(2)(1)(4) 五类抽象函数解法 　　1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。 解：设，∵当，∴， ∵， ∴，即，∴f（x）为增函数。 在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数， ∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1 ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，∵当，∴，则， 即，∴f（x）为单调增函数。 ∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 a 3。 2、指数函数型抽象函数 例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求： （1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。 解：（1）令y＝0代入，则，∴ 。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。 （2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。 例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下： （1）x＝1时，∵，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。 （2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。 综上所述，x为一切自然数时。 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）