金典教案-辅助角公式.docVIP

PAGE PAGE 2 辅助角公式教学应注意的的几个问题 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式=或=· ,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 求证：sin+cos=2sin（+）=2cos（-）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见, sin+cos可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin+bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin+bcos=(sin+cos), 令=cos,=sin, 则asin+bcos=(sincos+cossin) =sin(+),(其中tan=) 令=sin,=cos,则asin+bcos=(sinsin+coscos)=cos(-),(其中tan=) 其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求出.或由tan=和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习. 但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos,=sin?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式=来得更自然 能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法. r图1O的终边P(a,b)x首先要说明，若a=0或b=0时， r 图1 O 的终边 P(a,b) x 1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,它的终边经过点P.设OP=r,r=,由三角函数的定义知 sin==, cos=. 所以asin+bcos==cos sin+sincos =.(其中tan=) 图2rOxy的终边P(b,a)2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点 图2 r O x y 的终边 P(b,a) sin==, cos==. asin+bcos= =. (其中tan=) 例3 化为一个角的一个三角函数的形式. 解:在坐标系中描点P(,1),设角的终边过点P,则OP =r==2.sin=,cos=. ∴=2cossin+2sincos=2sin().tan=. ,∴=2sin(). 经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式 asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=).或者 asin+bcos=(sin+cos)=,(其中tan=) 我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin+bcos凑成(sin+cos)的道理,以及为什么只有两种形式的结果. 例4 化为一个角的一个三角函数的形式. 解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角过P点.则,.满足条件的最小正角为, 解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角过P点.则,.满足条件的最小正角为, 三.关于辅助角的范围问题 由中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限). 设满足条件的最小正角为,则.由诱导公式(一)知 ．其中，，的具体位置由与决定，的大小由决定． 类似地，，的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为，则由诱导公式有 ，其中，，的位置由和确定，的大小由确定． 注意：①一般地，；②以后没有特别说明时，角（或）是所求的辅助角． 四．关于辅助角公式的灵活应用 引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为 的形式或的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理． 例５　化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式． （１）； （２）． 解：　（１）