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第三章-正规子群和群的同态与同构
第三章 正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
定义 设 和 是两个群,如果存在映射 : 满足
1 G, G, ϕ G →G
( ) ( )
(即 保运算)
ϕ(a b) ϕ(a) ϕ(b)(=∀a,b ∈G) ϕ
则称 是同态映射,当 是满射时,称 与 同态,记为 ∼
ϕ ϕ G G G G
当 是双射时,称 与 同构,记为 ≅ ,也称 为 的同构像。
ϕ G G G G G G
时,同态,同构映射 分别称称为自同态和自同构映射
G G ϕ
二 群的同态映射的象
1 群在满同态映射下的映象
1.1 定理1 满同态映射把群映射为群,即G如果是一个群,
G是一个带有一种代数运算的代数体系,且G ∼G,则G也是
一个群。
推论 设ϕ : G →G为一个同态映射,e是群(G, )的单位元,则
1 e ϕ(e )为G的单位元,
()
2 ∀a ∈G,ϕ(a−1) ϕ(a)−1
( )
1.2 讨论
(1) 定理1中条件满足时,结论成立.
例1 G Z ,G {0,1,,,2 3} a b r (a +b除以4的余数),
ϕ
则(a) (r a除以4的余数)是G =→G同态映射,所以
G, 是群。
( )
(2)定理1中条件部分满足时,结论不成立
+
例2 定理中的满射不可以去掉:G (Q ,=×)为一个群;
+
G (2 Z , ), a b 2是一个半群,则 (x ) 2是
ϕ
一个 G →G(非满射)同态映射,但 (G, )是群,
(G, )不是群。
3 定理1的逆命题:(G,o)和(G,o)均为代数系统,
( )
G ∼G,则(G,o)为群时,(G,o)未必为群。
G n n Z G
例3 {2 =+1| ∈ }, {=−1.1}关于数的乘法分别做半
1 a为正奇数
⎧
G G a
群和群,且映射 : , ( )
ϕ → ϕ ⎨
⎩−1 a为负奇数
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