必修五数列知识点总结.docVIP

子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。 PAGE PAGE 7 必修五 数列 ★知识梳理 1.数列的前项和与通项的公式 ①； ②. 例1. ①已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式. ⑴； ⑵. ②设数列满足，则 ③数列中，，求的值. ④已知数列的首项，其前项和．求数列 的通项公式． ⑤设、分别是等差数列、的前项和，，则 . 2. 数列的单调性 ①递增数列:对于任何,均有. ②递减数列:对于任何,均有. 2010-2011海淀区高三年级期中 已知数列满足： （I）求的值； （Ⅱ）求证：数列是等比数列； （Ⅲ）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围. 2.等差数列知识点 通项公式与前项和公式 ⑴通项公式，为首项，为公差. ⑵前项和公式或. 等差中项:如果成等差数列，那么叫做与的等差中项. 即：是与的等差中项，，成等差数列. 等差数列的判定方法 ⑴定义法：（，是常数）是等差数列； ⑵中项法：()是等差数列. ⑶)是等差数列 ⑷是等差数列 等差数列的常用性质 ⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列； ⑵等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为. ⑶； ⑷若，则； ⑸若等差数列的前项和，则是等差数列； 例2.已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列. 等差数列的前项和的最值问题 ⑴若有最大值，可由不等式组来确定； ⑵若有最小值，可由不等式组来确定. 例2.已知为数列的前项和，，. ⑴求数列的通项公式； ⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由. 3.等比数列知识点 通项公式与前项和公式 ⑴通项公式：，为首项，为公比 . ⑵前项和公式： ①当时， ②当时，. 等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等，，，，中项，，成等差数列. 等比数列的判定方法 ⑴定义法：（，是常数）是等比数列； ⑵中项法：()且是等比数列. 等比数列的常用性质 ⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列； ⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为. ⑶ ⑷若，则； ⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列. 例3.已知为等比数列前项和，，，则 . 4.数列的通项的求法 ⑴利用观察法求数列的通项. ⑵利用公式法求数列的通项：①； ⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；② ⑷构造等差、等比数列求通项： ①； ②； ③ 例4.设数列的前项和为，已知，设， 求数列的通项公式． （宣武二模理18）设是正数组成的数列，其前项和为，且对于所有的正整数,有． ( = 1 \* ROMAN I) 求，的值； ( = 2 \* ROMAN II) 求数列的通项公式； （ = 3 \* ROMAN III）令，，（）， 求数列的前 项和． 例5.⑴已知数列中，，求数列的通项公式； ⑵设是首项为1的正项数列，且， 则数列的通项 . 例6.⑴已知数列中，，求数列的通项公式； ⑵已知数列中，，求数列的通项公式. 例7.⑴数列中，，则的通项 . ⑵数列中，，则的通项 . 例8.已知数列中，，求数列的通项公式. 5.数列求和 基本数列的前项和 ⑴ 等差数列的前项和： ⑵ 等比数列的前项和： ①当时，；②当时，； 数列求和的常用方法：拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 例.等差数列，公差，且，则 . 拆项分组法求和 求数列的前项和. 裂项相消法求和 ⑴数列的前项和 ⑵求和：； ⑶ 求和：. 倒序相加法求和 北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测 已知函数，为正整数． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）若数列的通项公式为（），求数列的前项和； （Ⅲ）设数列满足：，，设，若（Ⅱ）中的满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求的最大值. 例9.设是数列的前项和，，. ⑴求的通项； ⑵设，求数列的前项和. 错位相减法求和 若数列的通项，求此数列的前项和. 【解析】， ① ② ①-②，得 . . 例10.已知为数列的前项和，，Sn+1=4an+2. ⑴设数列中，，求证：是等比数列； ⑵设数列中，，求证：是等差数列； ⑶求数列的通项公式及前项和. 例11.设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有． ⑴求，判断并证明函数的单调性； ⑵数列满足,且 求通项公式； 北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测 解：（Ⅰ）=1； ===1；……………………